幂级数收敛圆及求法

设{f_n（z）}（n=1，2，…）为一复变函数列，其中各项在区域D内有定义。表达式

f₁（z）+f₂（z）+…+f_n（z）+… （1.3.1）

叫做复变函数项级数，记作。此级数的最前n项的和

s_n（z）=f₁（z）+f₂（z）+…+f_n（z） （1.3.2）

叫做此级数的部分和。

如果对于D内的某一点z₀，极限

存在，那么我们说复变函数项级数在z₀收敛，而s（z₀）就是它的和。如果项级数在D内处处收敛，那么它的和一定是z的一个函数s（z），即

s（z）=f₁（z）+f₂（z）+…+f_n（z）+…

当f_n（z）=c_n-1（z-a）^n-1或f_n=c_n-1z^n-1时，那么得到函数项级数的特殊情形为

或

这种级数叫做幂级数。

如果令z-a=，那么式（1.3.3）可以写为，这是式（1.3.4）的形式。为了方便，下面就式（1.3.4）来讨论。

定理（阿贝尔定理） 如果级数在z=z₀（≠0）收敛，那么对满足|z|＜|z₀|的z，级数必绝对收敛。如果在z=z₀级数发散，那么对满足|z|＞|z₀|的z，级数必发散。

1.收敛圆与收敛半径(www.xing528.com)

利用阿贝尔定理，可以求出幂级数的收敛范围。对一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎下述3种：

1）对所有的正实数都是收敛的。这时，根据阿贝尔定理可知级数在复平面上是处处绝对收敛的。

2）对所有的正实数除z=0外都是发散的。这时，级数在复平面上除原点外处处发散。

3）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数发散的正实数。设z=α（正实数）时，级数收敛，z=β（正实数）时，级数发散，那么在以原点为中心，α为半径的圆周C_α内，级数绝对收敛；在以原点为中心，β为半径的圆周C_β外，级数发散。显然，α＜β。否则级数将在α处发散。我们把z平面内级数收敛的部分用图1.3.1中阴影部分标出，则阴影部分半径为R的圆周C_R叫做幂级数的收敛圆。在收敛圆的内部，幂级数绝对收敛；在收敛圆的外部，幂级数发散。收敛圆的半径R叫做收敛半径。所以幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域。在收敛圆的圆周上是收敛还是发散，不能作出一般的结论，要对具体级数具体分析。

图1.3.1 幂级数收敛半径

2.收敛半径的求法

幂级数收敛半径的求法如下：

定理（检比法） 如果，那么收敛半径。

必须注意的是，定理中的极限是假定存在的而且不为零。如果λ=0，那么对任何z，级数收敛，从而级数在平面上处处收敛，即R→∞。如果λ=+∞，那么对于除z=0以外的一切z，级数都不收敛。因此级数也不收敛，即R=0，否则，根据阿贝尔定理将有z≠0使级数收敛。

定理（检根法） 如果，那么收敛半径。

3.幂级数的运算和性质

像实变幂级数一样，复变幂级数也能进行有理运算。具体来讲，设

那么在以原点为圆心，r₁，r₂中较小的一个为半径的圆内，这两个幂级数可以像多项式那样进行相加、相减、相乘，所得到的幂级数的和函数分别就是f（z）和g（z）的和、差与积。在各种情形下，所得到的幂级数的收敛半径大于或等于r₁与r₂中较小的一个。