渗流模型介绍：理解地下水运动的关键

下面介绍两种常见的渗流模型。在本章中，二者都将被应用到。

（1）泊松布林（Poisson Boolean）渗流模型

在二维的泊松布林模型（λ，r）[178]中，节点以密度为λ的泊松过程分布到二维平面R2上。每个节点关联于一个半径为r/2的闭圆盘。两个圆盘如果有重叠部分，则称之为直接相连。这种设置对应于设定传输半径为r的情况。两个圆盘是连通的，如果它们之间存在一个两两直接相连的圆盘序列。一个圆盘的集合，其中任意两个圆盘都是连通的，则定义这个集合为簇（Cluster）。定义所有簇的集合为。定义簇中圆盘数量为随机变量N（Ci）。将关联于一个图，称为关联图。两个模型，，如果，则导出相同的关联图，即。从而，的图属性仅依赖于λ·r2[179]。渗流概率，记为p，表示给定点属于一个无穷节点数的簇的概率。令C表示包含给定节点的簇，渗流概率因此可定义为

当pc=（λr2）c=sup{λr2|p（λr2）=0}时，称pc为二维泊松布林模型的渗流关键阈值。（λr2）c的准确值至今还未确定。最好的分析结果显示其位于区间（0.192 45，0.843）[178，180]。本章将用到下面这个引理。

引理7.1

对于泊松布林模型，如果λr2＜pc，则有：

其中，pc是渗流关键值。(www.xing528.com)

（2）边（Bond）渗流模型

第3章、第5章和第6章构建基于渗流的路由机制时，已经应用到这种模型。下面将其和泊松布林渗流模型一起汇总于此，以便比较。

令B（h，p）表示一个边长为h的正方形网格。称只由开边组成的路径为开路径。对任意给定常数κ＞0，将网格图B（h，p）分为水平（或垂直）长方块，其大小为h×κlog h-，记为（或）。可以选择为使得h/（κlog h-）为整数的最小值。记长方块（或）中的不相交的贯穿式开路径的数目为（或）。记Nh=，Nv=，从而，我们有：

引理7.2

对于任意满足条件2+κlog（6（1-p））＜0的常数κ＞0和p∈，存在一个常数δ（κ，p），使得