使用χ2检验法进行统计分析

χ2检验法的基本思想是：将样本空间S（一个试验中所有可能的不同结果的集合，即随机变量的取值范围）分成k个互不相交的事件集合A1，A2，…，Ak，其中，，且当i≠j时Ai∩Aj=Φ。根据试验结果，统计每个事件Ai实际发生的频数fi，然后基于F0（x）计算每个事件Ai发生的理论频数。将fi与进行比较，如果相差不大，则不应拒绝零假设，否则就可以认为样本所属的总体分布与指定分布F0（x）之间存在显著差异，其原理如图4-3所示。

图4-3　χ2检验法的原理

χ2检验法的基本流程如下：

（1）将样本空间S分成k个互不相交的事件集合A1，A2，…，Ak。

（2）在假设H0的条件下，计算，其中i（=1，2，…，k，n）为样本容量。

（3）统计在n次试验中，Ai出现的频数，记为fi。

（4）计算统计量χ2，其中

由统计理论中的皮尔森定理，当n充分大时，无论总体服从什么分布，统计量χ2总是近似地服从自由度为k-r-1的χ2分布，其中r是F0（x）中被估计参数的个数。

（5）在给定置信水平1-α（其中α为显著性水平）下，判断：

①若，则拒绝H0；

②若，则接受H0。

其中是自由度为k-r-1的χ2分布的1-α分位数，即。(www.xing528.com)

【例4-3】在对某电子产品的试验中，设抽取100件产品进行试验，得到表4-1所列的试验数据（单位：1 000 h），请在置信水平1-α=0.95的条件下，检验该产品的寿命是否服从指数分布。

表4-1　某电子产品的100次试验数据

解：该产品寿命的假设检验为：

H0：F（x）服从指数分布；H1：F（x）不服从指数分布。

当产品的寿命服从指数分布时，由于失效率未知，失效率的估计为

由可进一步计算，将结果列于表4-2，据此计算可得统计量χ2=6.480 3。在置信水平1-α=0.95的条件下，有，所以可认为该组数据服从指数分布。

对于χ2检验法的运用，应注意如下几点：

（1）χ2检验法是基于皮尔森定理进行统计推断，所以要求在试验次数较多的条件下使用，建议在n≥30的条件下使用。

（2）在样本空间分割过程中，要求分割后的集团上fi的数目相对均衡，此时，可以通过更改集合的大小来保证fi的均衡性。

（3）为减少误差，应尽量使。