故障树定量计算的方法与应用

故障树定量计算的任务就是计算或估计顶事件发生的概率。在故障树的定量计算中，可以通过底事件发生的概率直接求顶事件发生的概率，也可通过最小割集求顶事件发生的概率。此时又分为精确解法与近似解法。

1.通过底事件发生的概率直接求顶事件发生的概率

故障树分析中经常用布尔变量来表示底事件的状态，如底事件i的布尔变量为

如果i事件发生，表示第i个部件发生故障，那么xi（t）=1，表示第i个部件在t时刻发生故障。计算事件i发生的概率，也就是计算随机变量xi（t）的期望值，即

Fi（t）的物理意义是：在[0，t]时间内事件i发生的概率（即第i个部件的不可靠度）。

对于由n个底事件组成的故障树，其结构函数为

顶事件发生的概率，也就是系统的不可靠度Fs（t），其数学表达式为

式中　F（t）=[F1（t），F2（t），…，Fn（t）]。

下面介绍两种结构的寿命分布函数：

（1）与门结构的寿命分布函数为

（2）或门结构的寿命分布函数为

2.通过最小割集求顶事件发生的概率

按最小割集之间不相交与相交两种情况处理。

1）最小割集之间不相交的情况

假定已求出了故障树的全部最小割集K1，K2，…，KNk，并且假定在一个很短的时间间隔内不考虑同时发生两个或两个以上最小割集的概率，且各最小割集中没有重复出现的底事件，也就是假定最小割集之间是不相交的，所以有：

式中　P[Kj（t）]——在时刻t第j个最小割集存在的概率；

Fi（t）——在时刻t第j个最小割集中第i个部件故障的概率；

Nk——最小割集数，(www.xing528.com)

则

2）最小割集之间相交的情况

用式（3-14）精确计算任意一棵故障树顶事件发生的概率时，要求假设在各最小割集中没有重复出现的底事件，也就是最小割集之间是完全不相交的。但在大多数情况下，底事件可以在几个最小割集中重复出现，也就是说最小割集之间是相交的。这样精确计算顶事件发生的概率就必须用相容事件的概率公式：

式中　Ki，Kj，Kk——第i，j，k个最小割集；

Nk——最小割集数。

由式（3-15）可看出它共有（2Nk-1）项。当最小割集数Nk足够大时，就会发生项数巨大而计算困难问题，即“组合爆炸”问题。如某故障树有40个最小割集，则计算P（T）的式（3-15）共有240-1≈1.1×1012（项），每一项又是许多数的连乘积，即使大型计算机也难以计算。

解决的办法，就是化相交和为不交和再求顶事件发生概率的精确解。

在许多实际工程问题应用中，往往取式（3-15）的首项或前两项近似取值：

或

【例3-11】 以图3-21所示故障树为例，试用式（3-16）和式（3-17）求该故障树顶事件发生概率的近似解，其中FA=FB=0.2，FC=FD=0.3，FE=0.36。

图3-21　故障树示例

解：该故障树的最小割集为K1=（A，C），K2=（B，D），K3=（A，D，E），K4=（B，C，E）。由式（3-16）可得：

顶事件发生概率的精确值为0.140 592，其相对误差ε1为

由式（3-17）可得：

其相对误差ε2为

该故障树的底事件故障概率是相当高的，按式（3-16）和式（3-17）计算的误差尚且不大，当底事件的故障概率降低后，相对误差会大大减小，一般都能满足工程应用的要求。