故障树定性分析方法

1.割集和最小割集

现用图3-19说明割集和最小割集的意义。这是一个由3个部件组成的串并联系统，共有3个底事件：x1，x2，x3。

它的5个割集分别是{x1}，{x2，x3}，{x1，x2，x3}，{x1，x2}，{x1，x3}。

图3-19　故障树示例

当各割集中底事件同时发生时，顶事件必然发生。它的两个最小割集是{x1}，{x2，x3}。因为在这两个割集中任意去掉一个底事件就不再成为割集。

这棵故障树的结构函数为

也可以写成

故障树定性分析的任务就是寻找故障树的全部最小割集。

2.求最小割集的方法

求故障树最小割集的方法很多，常用的有下行法与上行法两种。

1）下行法

这个算法的特点是根据故障树的实际结构，从顶事件开始，逐级向下寻查，找出割集。因为只就上、下相邻两级来看，与门只增加割集阶数（割集所含底事件数目），不增加割集个数；或门只增加割集个数，不增加割集阶数，所以规定在下行过程中，顺次将逻辑门的输出事件置换为输入事件。遇到与门就将其输入事件排在同一行[取输入事件的交（布尔积）]，遇到或门就将其输入事件各自排成一行[取输入事件的并（布尔和）]，这样直到全换成底事件为止，得到割集再通过两两比较，划去那些非最小割集，剩下即故障树的全部最小割集。

以图3-20所示故障树为例，求割集与最小割集。表3-19所示是求割集与最小割集的过程。这里从步骤1到2时，因M1下面是或门，所以在步骤2中M1的位置换以M2，M3，且竖向串列。从步骤2到3时，因M2下面是与门，所以M4，M5横向并列，由此下去直到步骤6，共得9个割集：{x1}，{x4，x6}，{x4，x7}，{x5，x6}，{x5，x7}，{x3}，{x6}，{x8}，{x2}。

图3-20　故障树示例

表3-19　求割集与最小割集的过程

再一步就是把割集通过集合运算规则加以简化、吸收，得到相应的全部最小割集。上述9个割集，因x6∪x4x6=x6，x6∪x5x6=x6，所以x4x6和x5x6被吸收，得到全部最小割集：{x1}，{x4，x7}，{x5，x7}，{x3}，{x6}，{x8}，{x2}。(www.xing528.com)

2）上行法

上行法是从底事件开始，自下而上逐步地进行事件集合运算，将或门输出事件表示为输入事件的并（布尔和），将与门输出事件表示为输入事件的交（布尔积）。这样向上层层代入，在逐步代入的过程中或者在最后，按照布尔代数吸收律和等幂律来化简，将顶事件表示成底事件积之和的最简式。其中每一积项对应于故障树的一个最小割集，全部积项即故障树的所有最小割集。

仍以图3-20所示故障树为例。故障树的最下一级为

往上一级为

再往上一级为

最后一级为

得到7个最小割集：{x1}，{x2}，{x3}，{x6}，{x8}，{x4，x7}，{x5，x7}。

其结果与第一种方法相同。要注意的是：只有在每一步都利用集合运算规则进行简化、吸收，得出的结果才是最小割集。

3.最小割集的定性比较

在求得全部最小割集后，如果有足够的数据能够对故障树中各个底事件发生的概率作出推断，则可进一步作定量分析。数据不足时，可按以下原则进行定性比较，以便将定性比较的结果首先根据每个底事件最小割集所含底事件数目（称为阶数）排序。在各个底事件发生概率比较小，其差别相对不大的条件下：

（1）阶数越小的最小割集越重要。

（2）在低阶最小割集中出现的底事件比高阶最小割集中的底事件重要。

（3）在同一最小割集阶数的条件下，在不同最小割集中重复出现次数越多的底事件越重要。

为了节省分析工作量，在工程上可以略去阶数大于指定值的所有最小割集进行近似分析。