可靠性模型的构建与应用

1.定义

可靠性模型包括可靠性框图和相应的数学模型。

可靠性框图：对于复杂产品的一个或以上的功能模式，用方框表示其各组成部分的故障或它们的组合如何导致产品故障的逻辑图。

2.可靠性模型类型

典型的可靠性模型类型如图3-4所示。

图3-4　典型的可靠性模型类型

几种典型的可靠性模型有串联模型、并联模型、n中取r模型（即r/n模型）和旁联模型。为了简化数学模型，假设：

（1）产品及其单元只具有正常和故障两种状态；

（2）产品所包含的各单元的寿命服从指数分布；

（3）产品所包含的各单元的故障是独立的。

1）串联模型组成产品的所有单元中任一单元发生故障都会导致整个产品发生故障的模型称为串联模型。其可靠性框图如图3-5所示。

图3-5　串联模型的可靠性框图

数学模型：由于n个单元的串联系统中，只要有一个单元发生故障，系统就发生故障，故系统寿命T应是单元中最短的寿命，即

按可靠度定义，R（t）=P（T>t），则该串联系统可靠度

由于各单元之间相互独立，且Ri（t）=P（Ti>t），得

当已知第i个单元的故障率为λi（t）（i=1，2，…，n）时，得

当各单元的寿命服从指数分布时，即故障率λi（t）=λi（i=1，2，…，n）时，由式（3-1）得

即若所有单元的寿命服从指数分布，则系统的寿命也服从指数分布，且故障率等于各单元故障率之和。

当所有单元的故障率相等时，即λi=λ（i=1，2，…，n）时，系统的可靠性参数为

综上所述，对串联系统的可靠性数学模型总结如下：

式中　λs——产品的故障率；

λi——单元的故障率；

MTBFs——产品的平均故障间隔时间；

Rs（t）——产品的可靠度；

Ri（t）——单元的可靠度；

n——产品所包含的单元数。

【例3-1】 假设系统由若干单元串联组成，单元的寿命服从指数分布，且故障率相等，求下列系统的可靠度、平均寿命：

（1）单元故障率为0.002/h，任务时间为10 h，单元数分别为1、2、3、4、5。

（2）单元数为5，任务时间为10 h，单元故障率分别为0.001/h、0.002/h、0.003/h、0.004/h、0.005/h。

（3）单元故障率都为0.002/h，单元数为5，任务时间分别为10 h、20 h、30 h、40 h、50 h。

解：由于单元的寿命服从指数分布，且各单元故障率相等，故

计算结果分别如表3-1～表3-3所示。

表3-1　第一种情况的计算结果（t＝10，λ＝0.002）

表3-2　第二种情况的计算结果（n＝5，t＝10）

表3-3　第三种情况的计算结果（λi＝0.002，n＝5）

2）并联模型

组成系统的所有单元都发生故障时系统才发生故障（或只要有任意单元能完成规定的功能，系统就能完成规定的功能）的系统称为并联系统。并联系统是最简单的冗余系统，也称为工作储备模型，其可靠性框图如图3-6所示。

图3-6　并联模型的可靠性框图

数学模型：由于n个单元的并联系统中，当n个单元都发生故障时系统才发生故障，故系统寿命T应与单元中最长的寿命相等，即

所以

由于各单元相互独立，且Fi（t）=P{Ti≤t}，则得

或

式中　Rs（t）——产品的可靠度；

Ri（t）——单元的可靠度；

MTBFs——产品的平均故障间隔时间；

n——产品中所含单元数。(www.xing528.com)

当单元的寿命服从相同的指数分布时，即λi（t）=λ（i=1，2，…，n）

为t的函数而不服从指数分布，则

令y=1-e-λt，则dy=λe-λtdt；当t=0时，y=0，得

所以

【例3-2】 假设系统由若干个单元并联组成，工作时间是原来的10倍，其他同例3-1。

解：由公式计算，结果分别如表3-4～表3-6所示。

表3-4　第一种情况的计算结果（λ＝0.002，t＝100）

表3-5　第二种情况的计算结果（n＝5，t＝100）

表3-6　第三种情况的计算结果（λi，n＝5）

3）n中取r模型（即r/n模型）

此模型是工作储备模型的一种。储备系统又称冗余系统，它是把若干个单元作为备件，且可以代替工作中失效的单元工作，以提高系统的可靠度。单元的储备形式多种多样，常见的有冷储备、热储备和温储备。热储备是指单元在储备期间的故障率和工作时的故障率相同，相当于所有储备件与工作单元一起工作。并联系统是一种特殊的热储备系统。冷储备是指单元在储备过程中不工作、不失效，储备期的长短对单元的工作寿命没有影响。如在有好的防腐措施的情况下，机械零部件或机械产品在储备期间可以看作冷储备。温储备是指单元在储存期内会有故障，但它的故障率小于工作故障率，即介于冷储备和热储备之间。例如，电子元器件中易老化的垫圈，在储备期间也会失效，可看作温储备。

在后两种储备系统中，工作单元发生故障后，转换开关就启动一个储备单元代替工作，故转换开关是否可靠工作，也将影响储备系统的可靠度。

组成产品的n个单元中，至少有r个正常，产品才能正常工作的模型为工作储备模型，其可靠性框图如图3-7所示。

图3-7　r/n模型的可靠性框图

数学模型：若各个单元都相同，则

若各单元失效分布为指数分布，则

式中　Rs（t）——产品的可靠度；

R（t）——单元的可靠度；

r——使产品正常工作所必需的最少单元数；

λ——单元的故障率；

——综合公式，。

【例3-3】 某20管火箭炮，要求有12个定向器同时工作才能达到火力密度要求，所有定向器相同，且寿命服从λ=0.001 05/发的指数分布，任务时间是100发。试求在任务期间该炮火箭能正常工作的概率。

解：火箭炮系统可看作r/n模型，其中r=12，n=20，λ=0.001 05/发，t=100发。根据单元可靠度R（t）=e-λt，得

根据系统可靠度，得

4）旁联模型

组成产品的n个单元中只有一个单元工作，当工作单元有故障时通过故障监测及转换装置接到另一个单元进行工作的模型，为非工作储备模型（旁联模型），其可靠性框图如图3-8所示。

图3-8　旁联模型的可靠性框图

数学模型：系统由n＋1个单元组成，其中一个单元工作，其他单元都作冷储备。当工作单元失效后，一个储备单元代替工作，这样逐个替换，直到n＋1个单元都失效时，系统才失效，并且假定，在用储备单元代替失效的工作单元时，转换开关不会失效。这样的系统称为转换开关可靠的冷储备系统或理想的冷储备系统。

设Ti（i=1，2，…，n，n＋1）为单元i的寿命，由转换开关可靠的冷储备系统的工作方式可知，该系统的寿命T为各单元寿命之和，即

由概率统计可知，P{T1＋T2＋…＋Tn＋1≤t}是联合概率分布，由卷积公式计算，即

式中　Fi（t）——单元i的寿命分布函数，i=1，2，…，n＋1；

“∗”——卷积符号。

故

当组成系统的单元为同一型号，且其寿命服从指数分布时，即λi（t）=λ=常数（i=1，2，…，n＋1），可按如下思路计算Rs（t）：

因为fi（ti）=λie-λit，即

又由于单元间相互独立，则

即，则

式中　t——产品的工作时间。

5）基本可靠性与任务可靠性模型

基本可靠性是指产品在规定的条件下，无故障的持续时间或概率。它反映产品对维修资源的要求。任何产品的故障都需要维修，都需要维修资源，即维修人员、工具、设备、材料、零备件、技术资料等，所以基本可靠性模型是串联模型（即非储备模型）。

任务可靠性是指产品在规定的任务剖面中完成规定的功能的能力。它反映产品完成任务的能力，因此应根据产品的功能关系，分别建立串联模型、并联模型、r/n模型和旁联模型。

图3-9所示为某军用飞机的基本可靠性和任务可靠性框图。从图中可以看出，任务可靠性框图由各单元串联、并联和旁联组成，而基本可靠性框图则由各单元串联组成，即使采用余度设计，如发动机、燃油系统等在基本可靠性框图中也是串联的。由此可知，若用余度来提高装备的任务可靠性，则必然降低其基本可靠性。

图3-9　某军用飞机的基本可靠性和任务可靠性框图

（a）基本可靠性框图；（b）任务可靠性框图