RL串联电路的零输入响应探究

如图4-18所示的电路中,开关S原来与“1”相连,电路已处于稳态,电感已有电流I0=即i(0-)=I0=在t=0时开关S从位置“1”合到位置“2”,换路后电路无输入激励,电路中的响应是由电感中原有储能激励产生的,故是零输入响应。用三要素法可确定该RL电路短路放电时的响应。

图4-16　电流i的变化曲线

图4-17　uR及uL的变化曲线

图4-18　RL电路的短路

由图4-18可知

由式(4-18)得

或写成

i、uR、uL随时间变化的曲线如图4-19所示。

由以上分析可见,RL电路的时域响应与RC电路的时域响应一样,都是随时间按指数规律(增长或衰减)变化的,其变化的快慢都是取决于电路时间常数τ,RC电路和RL电路中τ的物理意义和对时域响应的影响是相同的,所不同的仅是RC电路的时间常数τ=RC,RL电路的时间常数τ=

图4-19　RL短路放电时,各电量的变化曲线

【例4-6】 在图4-20电路中,RL=20Ω为负载电阻,R1=1Ω为线路电阻,K为继电器线圈,其电阻R=1Ω,L=0.2 H,直流电源电压U=220V。如果负载RL被短路,线路中将产生很大的电流,当线路中的电流i=30A时,继电器动作可将电源切断。试问当负载被短路后需经过多少时间,继电器才能将电源切断。

解:需首先应用三要素求出负载被短路后的全响应电流i。由于

图4-20　[例4-6]图

由式(4-18)得电流i的全响应:

由上式可见,在负载被短路时,电流i由10A开始按指数规律增长,当i增长到30A时,继电器动作,将电源切断,起短路保护作用。

将i=30A代入上式可求得负载被短路到电源被切断所需经历的时间t。即

30=110-100e-10t

【例4-7】 图4-21中,开关S原来打开,t=0时S闭合,求i2随时间变化规律。已知i2(0-)=1A,U=120V,R1=20Ω,R2=30Ω,R3=60Ω,L=1H。

图4-21　[例4-7]图

解:i2初始值为

i2(0+)=i2(0-)=1A

稳态值为

求τ的等效电路图如图7-21(b)所示。

据三要素公式

i2=i2(∞)+[i2(0+)-i2(∞)]e-t/τ

=2+(1-2)e-45t=(2-e-45t)A

【例4-8】 如图4-22所示是发电机励磁回路。已知励磁绕组的电阻R=0.189Ω,电感L=0.398 H,直流电压U=35V。电压表量程为50V,内阻RV=5kΩ。开关S未打开时,电路已稳定,t=0时,开关打开。求:

(1)电路的时间常数。

图4-22　[例4-8]图(www.xing528.com)

(2)电流iL随时间变化规律。

(3)电压表二端电压uV。

(4)开关刚打开时,电压表的端电压。

解:(1)电路的时间常数。

(2)电流随时间变化规律。

因为

所以依电流放电(零输入响应)表达式(4-22)得

(3)电压表二端电压。

uV=-RViL=-5×103×185.18e-12564t

≈-926e-12564tk V

(4)开关刚打开时,电压表端电压。

uV=-926k V

可见,此时电压表承受很高的电压,要烧坏电压表。因此,工程实际当中,对感性负载,当开关拉开时,必须考虑磁场能量的释放。常用的办法是在感性负载两端并接二极管或阻值小的电阻。

【例4-9】 图4-23中,RL是发电机的励磁绕组,其电感较大,将电源开关S断开时,为了不烧坏开关触头,用一个泄放电阻R'与线圈连接,开关接通R'的同时将电源断开,经过一定时间后,再将开关扳到“3”的位置,使电路完全断开。

已知:U=220V,L=10 H,R=80Ω,Rf=30Ω,在电路已进入稳定状态时,开关与电源断开而与R'接通。求:(1)设R'=1000Ω,试求开关接通R'的初始瞬间线圈两端的电压uRL;(2)在(1)中如果不使uRL超过220V,泄放电阻R'应选多大?(3)根据(2)中所选用的电阻R',试求开关接通R'后经过多长时间绕组才能将所储的磁能放出95%;(4)写出(3)中uRL随时间变化的表达式。

解:换路前线圈中的电流为

图4-23　[例4-9]图

根据换路定则

i(0+)=i(0-)=I0=2A

(1)换路后初始瞬间即t=0+时线圈两端的电压为

uRL(0+)=-(R'+Rf)i(0+)=-(1000+30)×2=-2060(V)

式中负号是表示uRL(0+)的实际方向与正方向相反。

(2)如果不使uRL(0+)超过220V,则

(R'+Rf)i(0+)≤220V

即

(R'+30)×2≤220V

所以

R'≤80Ω

(3)求当磁能已放出95%时的电流及所需时间。

所以

i=0.446A

由式(4-22)知

解得磁能放出95%时所需的时间为

t=0.078s

(4)按R'=80Ω,写成uRL的表示式

uRL=-(Rf+R')i=-(30+80)2e-19t

所以

uRL=-220e-19tV