循环Hamming码和极长码的比较

6.4.5节已经讨论了一般形式的Hamming码。本节讨论循环Hamming码，这是一种具有循环移位特点的（n，k，3）Hamming码，并且循环Hamming码的对偶码也是一个重要的码类，为此给出下列定义：

定义6.63 生成多项式为本原多项式的（n，k，3）循环码称为循环Hamming码。

由定理6.36知，若g（x）为（n，k，d）循环码的生成多项式，则，且g（x）|xⁿ-1。因为循环Hamming码的g（x）是本原多项式，则n=2^m-1。所以循环Ham-ming码的码长为n=2^m-1，校验元个数为n-k=m，信息元个数为k=2^m-1-m。显然，这与6.4.5节所述的一般形式的Hamming码具有相同的参数。

表6.3给出了GF（2）上40次以内的本原多项式，每一次数仅给出一个。以这些本原多项式为生成多项式，可以构造一批循环Hamming码。例6.42～例6.44讨论的是（7，4，3）循环Hamming码，下一节的例6.47讨论的是（15，11，3）循环Hamming码。

运用6.4.6节由一个已知码构造新码的方法，可以构造扩展循环Hamming码和增余删信循环Hamming码。

定义6.64 设p（x）是m次本原多项式，则由g（x）=（x^2m-1-1）/p（x）生成的（2^m-1，m，2^m-1）循环码称为极大长度码（简称极长码）。

由表6.3给出的本原多项式，运用定义6.64可以生成一批极长码。例6.39讨论的（7，3，4）循环码就是极长码，该码全部码字由一个全0码和7个重量为2^3-1=4的7个非0码字构成，且这7个非0码字可以由其中任意一个码字的循环生成。(https://www.xing528.com)

可以证明，极长码有以下三个重要特点：

1）极长码的编/译码器通常由带反馈的m级移位寄存器构成，其反馈线的连接方式由本原多项式的系数规定，这种编码器的结构与下一节将讨论的k级编码器十分相似。m级二元移位寄存器最多只有2^m-1个非零状态，极长码码字长度也是2^m-1。这说明每个码字都是m级反馈移位寄存器“各态遍历”后最大长度的一个输出序列，不同的码字只是表现为具有不同的起始点而已。

2）由于每个码字是不同起始点的最长线性反馈移位寄存器序列，这就意味着极长码的所有2^m-1个非0码字都是由同一个非0码字循环移位而成。因此，极长码又叫作单纯码。显然，极长码的所有码字的重量是相同的，所以极长码又叫等距码。

3）m级移位寄存器的2^m个状态中，输出位等于1的情况恰好占一半。因此，极长码的码字重量为2^m-1，其最小距离也是2^m-1。

极长码的编码器，即生成具有最大周期长度的m级线性反馈移位寄存器（通常称为最大长度线性反馈移位寄存器），其输出的序列是周期为2^m-1的二元序列（通常称这一类序列为m序列）。由于这种以m次本原多项式规定的反馈移位寄存器产生的序列具有良好的“随机性”，因此，该序列有广泛的工程应用价值。例如，在通信工程中，已将这种序列用于扩频码序列，或用这种序列的某种组合用于码分多址序列，以及在密码中作为加密的随机序列等。