限带高斯白噪声加性波形信道简介

高斯白噪声加性波形信道是经常假设的一种波形信道。该信道的输入和输出信号是随机过程{x（t）}和{y（t）}，而加入信道的噪声是加性高斯白噪声{n（t）}（其均值为零，双边功率谱密度为N₀/2）。所以，输出信号满足

{y（t）}={x（t）}+{n（t）}

一般信道的频带宽度总是有限的，设其带宽为F。这样，信道的输入、输出信号和噪声都是限频的随机过程。因此，可以通过取样将时间连续的信道转化成时间离散的多维连续信道来处理，如图3.10所示。由于是加性信道，所以多维连续信道也满足

Y=X+n

因为信道的频带是受限的，所以信道的噪声成为限带高斯白噪声。根据低频限带高斯白噪声的性质，限频F的高斯白噪声过程可以分解成N（=2FT）维统计独立的随机序列，其中每个分量的均值为零，方差为σ²_i=P_ni=N₀F。因此，N维联合概率密度函数为

对加性信道来说，若上式成立，则有

所以，信道是无记忆的。这就是多维无记忆加性高斯信道，它可以等效成N个单符号高斯加性信道组成的序列信道。

可以证明对于连续信道，I（X；Y）和也有类似定理3.5给出的离散序列信道的结论。因此有

则信道容量（每N个自由度）为

设信道输入信号的平均功率为P_x，信号限时为T，则有P_x=P_xi，N=2FT。前面已给出噪声的功率（方差）为σ²_ni=P_ni=N₀F，将这些参数代入式（3.77）得

要使限带高斯白噪声加性信道传输的信息量达到信道容量，必须使输入信号{x（t）}具有均值为零、平均功率为P_x的高斯白噪声特性。否则，传输的信息量将低于信道容量，信道得不到充分利用。换句话说就是，白噪声信号是最佳的高斯白噪声波形信道的传输信号。

限带高斯白噪声信道（AWGN）单位时间的信道容量为

式中，P_x是输入信号的平均功率；N₀F是高斯白噪声在带宽F内的平均功率（其双边功率谱密度为N₀/2）；是信噪功率比；是信噪比（要注意区分和的含义）。式（3.78）或式（3.79）就是著名的Shannon公式（Shannon信道容量公式）。

Shannon公式说明：

1）信道容量仅与信噪比和带宽有关。

2）表明了在高斯噪声信道中可靠通信时，信息传输速率的上限值。

3）工程上的实际信道一般是非高斯噪声波形信道，其噪声熵小于高斯噪声熵，故实际的信道容量以Shannon公式为下限，即Shannon信道容量是对实际信道容量的保守估计。

4）当噪声功率谱密度N₀/2→0时，信道容量趋于无穷大。这说明无干扰连续信道容量是无穷大。但遗憾的是，这种信道是不存在的。

5）当信道带宽一定时，信道容量与信噪功率比成对数关系。提高信号功率或者降低噪声功率有助于提高信道容量。

6）当信道容量一定时，增加信道带宽可以降低对信噪功率比的要求（如扩频通信）；反之，当信道频带较窄时可以通过提高信噪功率比来补偿。

7）当信道频带无限时，其信道容量与信号功率成正比。表明即使带宽无限，信道容量仍然是有限的。带宽无限时，高斯信道的容量为

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式（3.80）称为Shannon限，它是一切信道编码方法所能达到的极限。

当C_t|_F→∞=1 bit/s时，P_x/N₀=ln 2=-1.6 dB。即当带宽不受限制时，每秒传输1 bit信息，信噪比最低需要-1.6 dB，所以，通过信道编码能够获得的极限为-1.6 dB。目前，广泛应用的一些优秀信道编码方案已经很接近Shannon限，如Tubor码、LDPC码等。

由式（3.78）知，决定信道容量的物理参数有三个：F、T、。为达到某种工程目的，这三个参数之间可以互换。举例如下：

（1）用频带换取信噪比

在模拟通信系统中，调频广播（FM广播）优于调幅广播（AM广播）就在于调频广播信号比调幅广播信号占用了更多的带宽。

在数字通信系统中，通常采用扩频通信技术来获取更大的带宽，以实现很低信噪比下的通信。常见扩频通信技术有直接序列扩频通信、跳频通信、CDMA和时频编码等。

（2）用信噪比换取频带

在卫星通信、数字微波中继通信、电话信道数字通信中，常采用多电平调制、多相调制和高维星座调制等，它们利用高质量信道中富余的信噪比，以提高传输有效性。

（3）用时间换取信噪比

当信道的信噪比很低时，可以采用弱信号累积接收技术，这种方法将多次接收的信号叠加起来。由于有用信号直接相加，而干扰则是按功率相加，因而经累积后，信噪比得到了改善。

应当指出，带宽和信噪比的互换和时间与信噪比的互换过程并不是自然而然地实现的，Shannon公式仅指明了理论上存在这种技术的可能性。在实际通信系统中，需要采用相应的调制技术和接收技术才能完成。对于理想系统而言，虽然没有具体的实现方法，但可以认为包含了以上一些步骤。

因此，设理想通信系统如图3.24所示。假设输入端信号带宽为F_x，经过理想调制后的带宽为F。信道输出端，即理想解调的输入信号功率为P_xin，信道噪声功率为P_nin。这样，通过信道传输到理想解调器输入端的信息传输率为

而理想解调器将带宽为F的信号变换成带宽为F_x的信号。如果假设解调器没有丢失信息，则解调器输入和输出的信息传输率相等，而输出的信息传输率为

式中，Px_out和P_nout分别是解调器输出端的信号和噪声功率。所以可得

图3.24 理想系统的框图

由此可得，在理想系统中信噪比的改善与信道对信号的带宽比F/F_x呈指数关系。也就是说增加带宽能明显地改善输出信噪比。

【例3.15】

一般电话信道的带宽为3300 Hz。若信噪功率比为20 dB（即），代入式（3.79）计算得到的电话信道容量约为22 kbit/s。而实际信道达到的最大传输速率约为19.2 kbit/s。因为在实际电话信道中，还需要考虑串音、干扰和回声等因素，所以，实际的信息传输率比理论计算的值要小。

【例3.16】

在理想系统中有带宽为1 kHz的窄带信源。信号通过信道到达接收机输出端，其信噪功率比为0 dB。如果信道带宽为31 kHz，求理论上接收机输出端可能改善的信噪功率比。

解 由题意知，，F/F_x=31，由式（3.81）得

可见，扩频技术可以非常高地提升接收信号的信噪比，改善通信的可靠性。