线性系统时域特性概述

1.基本概念

图12-44所示为线性时不变（Linear Time-Invariant，LTI）系统的简单示意图，系统的输入x（t）与其输出y（t）在时域中的关系可用n阶线性微分方程予以描述。

理论上，只要给定输入x（t）和初始状态，即可通过求解微分方程得到输出y（t）。但实际上，线性系统的输入信号仅在一些特殊的情况下是预先知道的，通常是随机的，很难用解析方法表示；另一方面，对复杂系统并不容易求解，有时也难以得到微分方程。因此，通常采用一些函数来表征系统特性，这样的函数如复频域中的传递函数、频域中的频率响应函数、时域中的脉冲响应函数等。

对微分方程进行拉普拉斯变换，可得到系统的传递函数；向系统输入正弦扫频信号，在频域中测量输出幅度和相位，可得系统的频率特性；向系统输入脉冲激励信号，在时域中测量相应的输出，可得脉冲响应函数。本节将讨论时域脉冲响应函数。

2.脉冲响应分析

由于线性系统对典型信号的响应特性与系统对实际信号的响应特性之间存在一定的关系，因此，采用试验信号来评价系统性能是合理的。在对线性系统的特性进行分析时，可以通过对系统注入不同的信号来比较它们对特定输入的响应，从而建立评判和比较的依据。

在各种试验信号中，脉冲信号虽然是时间的简单函数，却包含了极快和极慢两种变化过程，能够检验系统的动态与静态特性。将脉冲作为典型的试验激励输入，可在一个统一的基础上对各种线性系统的时域特性进行比较和研究。常用的脉冲激励包括单位脉冲信号、单位阶跃信号。

（1）脉冲激励

单位脉冲信号（亦称单位冲激信号）的表达式为

时域波形如图12-45a所示。

单位阶跃信号的表达式为

时域波形如图12-45b所示。

单位脉冲信号和单位阶跃信号之间存在以下关系，可由其中一个得到另一个。即

图12-44 线性时不变系统示意图(www.xing528.com)

图12-45 单位脉冲信号和单位阶跃信号

a）单位脉冲信号 b）单位阶跃信号

（2）脉冲响应

卷积定理描述了线性时不变系统的输入与输出之间的关系：对于LTI，系统的输出y（t）等于输入x（t）与系统脉冲响应h（t）的卷积，即有

当系统的输入信号x（t）为单位脉冲信号δ（t）时，对应的系统输出响应即为脉冲响应（或称冲激响应），即

当系统的输入信号x（t）为单位阶跃信号u（t）时，对应的系统输出响应即为阶跃响应，即

可见，脉冲响应的积分为阶跃响应；反过来，阶跃响应的微分是脉冲响应：h（t）=d（y（t））/dt。

事实上，理想的单位脉冲信号是不存在的，只能根据实际情况把具有幅度足够大、宽度足够窄的窄脉冲信号近似为单位脉冲信号。同样，单位阶跃信号也由在原点处具有足够陡峭的上升沿的实际信号来近似取代。在工程实现中，获得近似的单位阶跃信号的难度相对比单位脉冲信号容易一些。

（3）脉冲响应的直接测量

由前述讨论可知，对脉冲响应进行直接测量的思路是：以单位脉冲信号作为测试激励送入被测的线性系统，然后使用示波器等设备，观测被测系统产生的时域响应。考虑到工程实现问题，也可使用单位阶跃信号作为测试激励，但此时的时域响应为阶跃响应，还需增设一个微分环节，才能得到所需的脉冲响应。线性系统脉冲响应的直接测量方法如图12-46所示。

图12-46 线性系统脉冲响应的直接测量方法

再次强调，图中的测试激励δ（t）、u（t）均是近似的，且示波器也仅具有有限带宽，因此实际上只能测得近似的脉冲响应。