测量系统动态特性的数学模型描述

时间：2026-01-23 理论教育眠眠版权反馈

【摘要】：频率响应具有明确的物理意义，利用它可以从频率域形象、直观、定量地表示测量系统的动态特性。输出、输入正弦信号的相位差随频率的变化，称为测量系统的相频特性，两者统称为测量系统的频率响应特性。

要研究动态特性首先必须建立数学模型，以便于用数学方法分析其动态响应，这就要从测量装置的物理结构出发，根据其所遵循的物理定律，建立输出和输入关系的运动微分方程。然后在给定条件下求解，得到在任意输入激励下测量系统的输出响应。

测量系统的特性用数学模型来描述，主要有三种形式：时域中的微分方程；复频域中的传递函数；频域中的频率特性。由于测量系统的特性由其系统本身固有属性决定，所以只要已知描述系统特性三种形式中的任何一种，就可以推导出另两种形式的模型。

1.微分方程

理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入-输出关系，即输出量为输入量的函数。但实际的测试系统中，总是存在阻尼、惯性等元件。这样，输出量y（t）不仅与x（t）有关，而且还与输入量的变化速度dx（t）/dt、加速度d²x（t）/dt²等有关。因此要精确地建立测试系统的数学模型是很困难的。但在工程上总是采取一些近似的方法，在一定误差范围内，忽略一些影响不大的因素，这给数学模型的确立与求解带来很多方便。在工程上可以近似地用线性时不变系统理论来描述测试系统的动态特性，使问题大大简化。从数学上可以用常系数线性微分方程表示测试系统输出量y（t）与输入量x（t）之间的关系，这种方程式的通式为

式中，a₀，a₁，a₂，…，a_n和b₀，b₁，b₂，…，b_m为与系统结构参数有关的常数。

从理论上讲，由式（8-44）可以计算出测试系统的输出与输入的关系，但是对于一个复杂的系统和复杂的输入信号，求解式（8-44）也不是一件容易的事情。因此，通常采用一些足以反映系统动态特性的函数，将系统的输出与输入联系起来。这些函数有传递函数、频率响应和脉冲响应函数等。

2.传递函数

为简化运算，通常采用拉普拉斯变换，把上述用微分方程表示的系统的传输特性，变换成为易于处理的代数方程，称为传递函数。传递函数是在初始条件为零时，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。对式（8-44）取拉普拉斯变换，并认为输入x（t）与输出y（t）及它们各阶导数在t=0时的初始值为零，其拉普拉斯变换为

Y（s）（a_nsⁿ+a_n-1s^n-1+…+a₁s+a₀）=X（s）（b_ms^m+b_m-1s^m-1+…+b₁s+b₀）（8-45）

式中 Y（s）为系统输出量的拉普拉斯变换

X（s）为系统输入量的拉普拉斯变换于是，测量系统的传递函数为

式中的分母中s的幂次n代表了系统微分方程的阶数。如n=1或n=2，式（8-48）就分别称为一阶系统或二阶系统的传递函数。在Y（s）、X（s）和H（s）三者中，知道任意两个，第三个便可求得。

传递函数有以下特点：

1）H（s）是通过把实际物理系统抽象成数学模型后经过拉普拉斯变换得到的，它反映测量系统本身固有的特性，即反映系统输出与输入关系的响应特性，包含瞬态、稳态的时间响应和频率响应的全部信息，与输入x（t）无关，当x（t）不同时，y（t）的表达式也不同，但二者拉普拉斯变换的比值始终保持为H（s）。

2）不同的物理系统可以有相同的传递函数，或者说同一个传递函数可能表征着两个完全不同的物理系统。因为各种具体的物理系统，只要有相同的微分方程，其传递函数也就相同。例如，弹簧-阻尼系统和RC电路同是一阶系统，它们均用一阶系统的传递函数来表征。

3）传递函数与微分方程等价。由于拉普拉斯变换是一一对应的变换，不会丢失任何信息，故两者等价。

3.频率响应函数

传递函数是在复数域中描述系统的动态特性，比在时域中用微分方程描述系统特性有许多优点。但是在许多实际工程系统中，难于建立微分方程，因而难以得到传递函数，而且传递函数的物理概念也难以理解。在频率域中描述系统特性的频率响应函数，物理概念明确，也容易通过实验获得，因此它是研究系统特性的重要工具。

对于稳定的常系数线性系统，可用傅里叶变换代替拉普拉斯变换，此时对系统的输出式（8-46）改写为

相应地对输入有

故

H（jω）称为线性系统的频率响应函数，简称频率响应或频率特性。它等于在初始条件为零的情况下，输出的傅里叶变换和输入的傅里叶变换之比。显然，频率特性是传递函数的特例。式（8-51）也可写为

H（ω）=Y（ω）/X（ω）（8-52）

从物理意义上说，通过傅里叶变换可把满足一定条件的任意信号分解成不同频率的正弦信号之和，将信号由时间域变换到频率域来描述，因此频率响应函数在频率域中反映一个系统对正弦输入的稳态响应，故又称其为正弦传递函数。

式（8-48）和式（8-51）在形式上很相似，但应注意二者的区别。传递函数是输出与输入拉普拉斯变换之比，其输入并不限于正弦激励，所反映的特性不仅有稳态也有瞬态，而频率响应函数反映的是系统对正弦输入（或称激励）的稳态响应，即系统达到稳态后输出与输入的关系。

频率响应具有明确的物理意义，利用它可以从频率域形象、直观、定量地表示测量系统的动态特性。频率响应函数可以较容易地通过实验的方法获得，因而成为应用最广泛的动态特性分析工具。

（1）幅频特性和相频特性

当正弦信号输入一线性测量系统时，其稳态输出是与输入同频率的正弦信号，但是输出信号的幅值和相位通常会发生变化，其变化随频率的不同而异。当输入正弦信号的频率改变时，输出、输入正弦信号的振幅之比随频率的变化，称为测量系统的幅频特性。输出、输入正弦信号的相位差随频率的变化，称为测量系统的相频特性，两者统称为测量系统的频率响应特性。

输入和输出的傅里叶变换X（ω）、Y（ω）以及频率响应特性H（ω）都是频率ω的函数，一般都是复数，因此H（ω）可用指数式来表达，即(https://www.xing528.com)

H（ω）=A（ω）e^jφ（ω）

式中，A（ω）为频率特性H（ω）的模，是输出的模|Y（ω）|与输入的模|X（ω）|之比；φ（ω）为频率特性的辐角。

模A（ω）与辐角φ（ω）是频率ω的函数。以ω为横轴、A（ω）=|H（ω）|为纵轴的A（ω）-ω曲线称为幅频特性曲线。若以模的分贝数L=20lgA（ω）为纵轴，则L-ω曲线称为对数幅频特性；以ω为横轴、φ（ω）为纵轴的φ（ω）-ω曲线称为测量系统的相频特性。

（2）频率特性的测量（实验求取）方法

频率特性的测量通常有两种方法。①傅里叶变换法（FFT法），即在初始条件全为零的情况下，同时测得输入x（t）与输出y（t），并分别对x（t）、y（t）进行FFT求得其傅里叶变换X（ω）、Y（ω），其比值就是H（ω）。②正弦激励法，依次用不同频率ω_i、但幅值X_m（ω_i）不变的正弦信号x（t）=X_msinω_it作为测量系统的输入（激励）信号，同时测出系统达到稳态时的相应输出信号y（t）=Y_msin（ω_i+φ）的幅值Y_m（ω_i）。这样，对于某个ω_i，便有一组。全部的A（ω_i）-ω_i和φ（ω_i）-ω_i，i=1，2，3，…，便是测量系统的频率特性。