机械动力学分析中的特异值分解：应用与实践

以上所讨论的特征值问题是针对正方矩阵而言的。对于一般的非正方矩阵，例如m×n阶矩阵，与特征值问题相对应的是矩阵的特异值问题，或者称广义特征值问题。

以下是关于矩阵的特异值的定理。

设矩阵A∈C^m×n的秩为r，必有两个正交矩阵U∈C^m×m，V∈C^n×n及对角矩阵Λ∈R^m×n存在，使下列变换成立（上标∗表示矩阵的共轭转置）。

上式称为矩阵的特异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）。其中

Λ_r=diag[σ₁σ₂…σ_r]

σ₁≥σ₂≥…≥σ_r＞0称为矩阵的特异值。

特异值其实是方阵A^∗A的特征值的平方根，即

数学上矩阵特异值的一个主要应用是求解非正方矩阵的广义逆。广义逆在求超定方程组的最小二乘解时有用，例如超定方程组Ax=B的最小二乘解为(www.xing528.com)

x=A⁺B

其中，A^+表示矩阵A的广义逆，可由A的特异值分解的结果得到

A⁺=VΛ⁺U^∗

这里，Λ⁺为将Λ的不为0的元素变为倒数后，再进行转置而得来的矩阵（Λ⁺∈R^n×m）。

机械动力学分析中特异值分解的一个主要应用是主分量分析。例如把在实际运转中测量到的振动通过特异值分解，可以分析出影响最大的几个振动形态（主分量），从而确定有效的对策。又例如在汽车驾驶室的振动噪声耦合分析中，可以把耦合矩阵通过特异值分解，从而分离出对车内噪声影响大的振动模态和没有影响的振动模态。这在大规模有限元车辆模型的噪声、振动及不平顺性分析中很有效。

[1]正定矩阵是指对于任意的非0向量{x}，满足{x}^T[A]{x}>0的矩阵。特征值大于0的矩阵均为正定矩阵。如果{x}^T[A]{x}≥0，则称[A]为半正定矩阵。