矩阵特征值的基本概念

在数学上，对于一个n阶方阵A，存在一个值λ和非零向量φ（二者可能为复数），满足以下关系

Aφ=λφ

则称λ为矩阵A的特征值，φ为与λ相对应的特征向量。

与以上标准形式的特征值问题相比，下列关系称为一般化特征值问题

Aφ=λBφ （5.61）

例如对于一个动力学系统

令x=Xe^jωt，代入上式可得

KX=ω²MX

这就是式（5.61）所示的一般化特征值问题。这里，特征值的平方根就是系统的固有角频率。

对于一般化特征值问题式（5.61），如果矩阵B可逆，给式（5.61）两边同乘以B^-1，可得

A′φ=λφ，A′=B^-1A

可见，可以把一般化特征值问题转化为标准特征值问题。但是，在特征值求解中，并不要求一定要进行这样的转化。因为即使A、B对称，并不能保证A′=B^-1A也对称，而对称矩阵的特征值求解要比非对称矩阵的特征值求解容易很多。

求解式（5.62）所示的代数方程（特征方程），可以得到矩阵的特征值

det（λI-A）=0（5.62）这里，det表示矩阵的行列式，I为同阶单位矩阵，即对角项为1，其余项为0的矩阵。例如对于3阶矩阵

特征方程为

这个一元三次方程的3个根就是矩阵的特征值。n阶矩阵有n个特征值。

容易证明，对于矩阵A为对角阵或三角阵的特殊情况，特征方程为(www.xing528.com)

（λ-a₁₁）（λ-a₂₂）…（λ-a_nn）=0

这时，可以直接得到特征值等于对角线上的元素，即λ_i=a_ii（i=1，2，…，n）。

一般情况下，对于n＞4的高次方程，无法直接求解，原则上需要利用迭代运算求解特征值的近似值。数学家们开发出了很多种特征值及特征向量的计算方法。归纳起来，可以分为以下3种：

① 迭代法。

② 相似变形法。

③ 混合法。

对于实际问题，具体采用什么样的方法进行计算，需要对各种方法的特点以及问题要求有深刻的理解。例如，可以从以下3个方面考虑：

① 矩阵是否对称。

② 是否需要所有的固有值。

③ 是否需要特征向量。

目的就是要削减不必要的计算量。

最后需要指出的是，一旦迭代运算得到了特征值λ_i，特征向量φ_i可以通过解下列方程得到

（λ_iI-A）φ_i=0

同样，一旦迭代运算得到了特征向量φ_i，特征值λ_i可以由以下关系得到

同时应注意，因为特征向量乘以一个常数仍然是矩阵的特征向量，在用上式计算特征值之前，应对特征向量做以下正规化处理

φ^T_iφ_i=1