一个空间结构的实例

这里以一个空间结构为例，来说明以上方法的运用。该空间结构是一个外形尺寸为5m×4m×2m的大型结构。该结构在自由边界条件下的90Hz以下的固有模态被确定为对象模态，要求经过解析-实验相关分析来改进这个模型的精度。

图4.17 实验-解析相关分析流程示意图

首先，利用现有的模型进行实验前的预先分析。通过观察模态变形，选取变形较大而又有几何代表性的位置作为加速度传感器的安装位置。另外，把质量较大的部位也选为测量点。在这些点上进行Guyan缩减，可以得到实验-解析模型。最初可以保守一些，多选一些点，通过与原有模型结果的对比（模态频率、正交性等），可以对选择的点进行调节。这个过程需要反复，是一个试行错误的过程。在这个例子中，最终选取了118个位置作为实验-解析模型的模型点，考虑3方向平移，总共有118×3个自由度。也就是说，在模态实验中，需要118个3轴加速度传感器来进行测量。图4.18是用连线把各个测量点连接起来的实验-解析模型的示意图。

前面说过，判断实验-解析模型合格与否的标准是：模态频率误差在2%以内，正交性矩阵的对角项大于0.95，非对角项小于0.05。经检验，这里所建的实验-解析模型满足这个标准。限于篇幅，表4.2仅列出模态频率的对比及交叉正交矩阵的对角项的结果（略去了6个刚体模态）。可以看出，对于所有模态，实验-解析模型很好地反映了原有FEM模型的特性，但第18阶模态有点超标。经检查，这是由于一个部件的局部变形引起的，而这个部件没有在实验-解析模型中得以表现。由于这个局部变形在这个项目中不重要，因此实验-解析模型的精度是可以接受的。事实上，90Hz以上的不少模态都是局地模态（Local Mode），而实验-解析模型主要反映了重要的整体模态（Global Mode），因此，90Hz以上的实验-解析模型的精度变差。表4.2中的正交性的负值是由于参与计算的两个模态向量反相而引起的。

图4.18 用连线把各个测量点连接起来的实验-解析模型的示意图

表4.2 有限元模型结果与实验-解析模型结果的对比

实验-解析模型的建立为模态实验中加速度传感器的安装位置提供了指针。另外，通过观察模态分析的结果，也可以确定能够激励起主要模态的合理的加振位置和加振方向。在这个项目中，整个结构由空气弹簧支撑起来，采用两个激振器在两个方向上进行激振。这里对具体的实验过程不做介绍，仅列出以下注意事项作为参考。

①为了确保自由边界条件，刚体模态的频率应该远低于第1阶弹性模态的频率。通常要求刚体模态频率为第1阶弹性模态频率的1/10～1/5。在这个例子中，第1阶弹性模态的频率为21Hz，所以最好把刚体模态频率控制在2～3Hz。这可以通过调节空气弹簧的内压来实现。

②在进行正式实验之前，最好进行一些预备实验。通过这些实验，可以判断所选的加振位置和方向是否合适。例如如果两个激振器的安装位置的机械阻抗相差太大，激励力的振幅也将相差很大，这样的效果不好。预备实验的另一个重要任务是通过考察传递函数的互换性（Reciprocity）来检验对象结构的线性程度。如果互换性不好，则应检查可能的非线性因素并加以矫正，例如紧固松动的螺钉等。

③如果实验时间较长，如需要几天时间，则每次重新测量时，先应检查测量结果的再现性。这可以通过监测某些点的响应来实现。

④在完成所有的测量之后，不要急于撤收实验设备，而应先对测量结果做初步分析。例如进行粗略的曲线拟合可以帮助判断测量结果是否可靠，至少应该可以得到较清晰的刚体模态；如果结果不理想，可能需要重新或追加测量。

表4.3 实验结果与解析结果的对比

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在完成实验模态分析之后，可以按照4.5.2节介绍的评价指标来检验实验结果与解析结果之间的相关性。表4.3所示为二者之间的模态频率和交叉正交性对角项的值。图4.19是直接正交性的计算结果，图4.20是交叉正交性的计算结果。可以看出，低于43Hz，解析结果与实验结果有良好的相关性；但对于高频，精度明显不足。这里，刚体模态没有列出，而只对比弹性模态。此外，对解析结果的模态次序做了若干调整，以使对角项元素为最大。

图4.19 直接正交性的计算结果（[OR]=[Φ^T_TEST][M_TAM][Φ_TEST]）

图4.20 交叉正交性的计算结果（[XOR]=[Φ^T_TEST][M_TAM][Φ_TAM]）

从上面的对比结果可以看出，现有的有限元模型的精度达不到要求，需要对模型进行改进。经过各种艰苦的努力，最终得到的改良模型的结果如表4.4所示。图4.21是改良后的直接正交性的计算结果，图4.22是改良后的交叉正交性的计算结果。可以看出，改良模型的精度得到了很大的提高。尽管个别项目不满足评价要求，综合考虑各种复杂因素，可以认为这个有限元模型达到了项目的要求。

最后作为参考，介绍评价模态形状相关性的图示法。把模态向量按最大值正规化，可以把解析模态形状与实验模态形状绘制在同一张图里，从而直接进行逐点比较。图4.23是第15阶模态形状相关性的图示比较。其中，横坐标是所有测量点，纵坐标是模态变形，3个方向上的变形分量分别表示。从这个图里，可以方便地发现解析结果和实验结果差异较大的位置，从而为模型改进方案提供有用情报。

图4.21 改良后的直接正交性的计算结果（[OR]=[Φ^T_TEST][M_TAM][Φ_TEST]）

表4.4 实验结果与改良后的实验-解析模型的计算结果的对比

图4.22 改良后的交叉正交性的计算结果（[XOR]=[Φ^T_TEST][M_TAM][Φ_TAM]）

图4.23 第15阶模态形状相关性的图示比较（实线：实验结果，虚线：解析结果）