求解频率响应的复模态方法优化方案

由上节可知，通过复特征值分析可以得到2n个正交扩展特征向量[Φ]。这些正交向量组成了一个基底，用它们的线性组合可以求得实际物理坐标上的响应。

引入一个恒等式

与方程式（3.3）结合，可得扩展系统的方程为

定义

式（3.53）变为

假定这个方程的解也是简谐函数{u}={U（ω）}e^jωt，则

（jω[A]+[B]）{U（ω）}={F_g（ω）} （3.55）

上述扩展系统的特征向量为[Φ]，其响应可以表示为正交扩展向量[Φ]的线性组合，即

这里，{Δ（ω）}称为模态坐标，其长度为2n。把式（3.56）代入式（3.55），并给两边同乘以[Φ]^T，得

（jω[Φ]^T[A][Φ]+[Φ]^T[B][Φ]）{Δ（ω）}=[Φ]^T{F_g（ω）}利用正交关系式（3.52），可得(www.xing528.com)

这里，[a]和[b]为对角矩阵。因此，以上方程是2n个独立的非连立方程，其解为

于是，由式（3.56）可得，物理坐标上的响应为

值得注意的是，a_i和b_i并不相互独立，由公式（3.51）容易得到二者之间通过特征值联系起来

b_i+λ_ia_i=0 （3.60）

所以，式（3.59）可进一步写为

将式（1.23）代入上式，可得

考虑到复特征值和复特征向量的共轭性质（粘性阻尼的情况），式（3.61）可进一步写成

这里，{Φ_i^∗}表示{Φ_i}的共轭。

一般所说的模态解法均指基于实模态分析的方法。但是，对于非比例阻尼，在实模态坐标上，方程依然耦合，计算量仍可能很大；若转化到复模态扩展坐标上，则可以完全解耦，计算量可以大大减少。这是该方法的最大优点。正因如此，面对有限元模型越来越大的现实，这个方法正越来越引起人们的重视。