如何采用模态法进行结构响应计算

这里，我们介绍利用模态坐标变换来求解结构频率响应的方法。首先，进行模态分析（特征值分析），得到系统的模态形状[ϕ]；然后，进行以下坐标变换

{x（ω）}=[ϕ]{δ（ω）} （3.22）

这里，{δ（ω）}代表模态坐标上的强迫振动响应。将式（3.22）代入式（3.4），可得

（-ω²[m]+jω[c]+[k]）[ϕ]{δ（ω）}={F（ω）}

两边同乘[ϕ]^T，得

[ϕ]^T（-ω²[m]+jω[c]+[k]）[ϕ]{δ（ω）}=[ϕ]^T{F（ω）}

利用模态的正交性，得

（-ω²[M]+jω[C]+[K]）{δ（ω）}={F^m（ω）} （3.23）

这里，[M]、[K]是模态质量和模态刚性矩阵，它们是对角阵；[C]=[ϕ]^T[c][ϕ]称为阻尼矩阵，可能是对角阵，也可能不是；{F^m（ω）}=[ϕ]^T{F（ω）}称为模态力，反映的是外力对各个模态的激励成分。于是在形式上，模态响应为

{δ（ω）}=（-ω²[M]+jω[C]+[K]）-1{F^m（ω）}

进一步可得到物理坐标上的响应为

{x（ω）}=[ϕ]{δ（ω）}=[ϕ]（-ω²[M]+jω[C]+[K]）^-1[ϕ]^T{F（ω）} （3.24）

这里应注意，式（3.24）虽然形式上为矩阵的逆运算，但在实际计算中并不进行矩阵求逆，而是利用矩阵分解方法来求解联立方程组（参见第5章）。

一般情况下，模态阻尼矩阵不是对角阵（因为阻尼矩阵[c]一般不对称，模态向量不能将其对角化）。因此，以上转换到模态坐标上的方程仍然没有被完全解耦，还需要按联立方程来解。从这个意义上讲，上述解法和直接解法是一样的。但是，在概述中已经说过，决定结构响应的主要是低频模态，因此可以忽略掉高频领域的模态，从而大幅度减少联立方程的个数，达到提高计算效率的目的。具体做法如下：(www.xing528.com)

按模态频率由小到大的顺序，把n个模态分为低阶p个（1，2，…，p）和高阶n-p个（p+1，p+2，…，n），方程式（3.23）可写成

这样，模态阻尼矩阵把各个方程耦合了起来。但是，如果激励力频率远小于p阶模态的固有频率，则可以认为p阶以上的模态与p阶以下的模态的耦合作用很小，可以忽略。于是，可以把p阶以下的联立方程组独立出来，成为

一般来说，p<<n，求解以上p个联立方程要比求解原有的n个联立方程式（3.23）容易得多。由式（3.25）得到p个模态响应{δ（ω）}_p×1后，进而可得物理坐标上的响应为

式（3.26）中的模态矩阵是由前p个模态向量组成的。一般选取p为所需激励力频率的2倍范围内的模态。

一个特殊情况是比例阻尼的情况（也称瑞利阻尼）。阻尼矩阵可以表示为质量矩阵与刚性矩阵的线性组合

[c]=α[m]+β[k] （3.27）

其中，α、β为常数。这种情况下，模态矩阵也可以将阻尼矩阵对角化，即方程式（3.23）中的模态阻尼矩阵也为对角矩阵，方程式（3.23）完全被解耦，成为独立的n个单自由度系统方程（容易证明：每个模态所对应的阻尼比与α、β的关系为ζ_i=α/2ω_i+βω_i/2。据此，可以利用两个给定的模态阻尼比来决定α、β）。因此，可以方便地得到各个模态坐标上的响应δ_i（ω）（i=1，2，…，n）为

利用叠加法，进一步得到物理坐标上的响应为

如果略去p阶以上的模态，则计算更加高效。

这里，对阻尼做进一步说明。实际结构的阻尼主要来源于材料内阻尼和结合部摩擦等复杂机理引起的结构阻尼，还有阻尼器（如汽车的缓冲器）等机构引起的局部粘性阻尼。这些阻尼构成的阻尼矩阵一般不满足比例阻尼的条件，模态坐标上的运动方程依然耦合。质量和刚性可以根据材料特性（弹性模量、密度）以及边界条件确定，阻尼一般只能凭经验给出。因此，在阻尼不是很明确的情况下，经常采用事后给各个模态独立定义模态阻尼的方法。这个模态阻尼可以利用实验模态分析通过曲线拟合得到；如果没有实验结果，则可以取经验值。总之，利用这种方法定义的模态阻尼矩阵为对角阵，使模态坐标上的方程解耦。

相对于直接解法，模态法频率响应分析的计算量大幅降低，因此是大规模有限元动力分析的首选方法。如果所有模态都参与计算的话，模态法的结果与直接解法的结果完全相同。实际上，对于大规模系统来说，计算出所有的模态是不现实的，总是要进行适当的截止处理（Mode Truncation）。一般来说，选取所需频率上限的2倍以上的模态参与计算，可以保证足够的精度，例如研究汽车的路面噪声问题（50～400Hz），最好计算出800Hz以内的车体固有模态。但是，在某些特殊情况下，则需要更高频的模态参与计算，例如当阻尼较大模态间耦合较强时，或者高频局部刚性较弱时。

最后，对模态贡献率（Mode Participation）的概念进行说明。在式（3.29）中，如果只考虑某一个模态，则所得结果反映了这个模态对整个响应的贡献度大小。利用这种方法，可以在每个频率成分上对所有模态的贡献度进行排序，从而确定影响大的模态。应该注意：在存在模态耦合的情况下，δ_i并不只由第i节模态的参数决定，还受到其他模态的影响。只有在比例阻尼的情况下，才唯一地由第i节模态的参数决定。所以，只有在这种情况下，模态贡献率才可以严格地反映各个模态的贡献度大小。