特征值与特征向量简介

研究系统振动的固有特征，出发点是无阻尼自由振动。其运动方程式为

这里，[m]、[k]为（n×n）阶实对称矩阵。假定以上方程的解为简谐振动，则

{x}={ϕ}e ^jωt

代入式（3.9），可得

（[k]-ω²[m]）{ϕ}=0（3.10）

在数学上，上式称为一般化特征值问题（参见第5章）。可以把它转化为以下标准特征值问题

（[A]-λ[I]）{ϕ}=0 （3.11）

这里，[A]=[m]^-1[k]，[I]为单位矩阵，λ=ω²。

方程式（3.11）的λ称为系统的特征值，{ϕ}为与之相对应的特征向量。方程式（3.10）或（3.11）的一个显而易见的解是{ϕ}=0，这对应于系统停止状态，因此没有实际意义。在{ϕ}≠0的条件下，方程式（3.10）的解必须满足以下行列式为0的条件

[k]-ω²[m]=0 （3.12）

这是一个线性代数方程，求解它可以得到一系列ω_i（i=1，2，3，…），即系统的固有频率。进而由方程式（3.10），可以得到与之对应的特征向量{ϕ}。对应于每一个ω_i，有一个特征向量{ϕ_i}，它反映了模态的形状，因此也称模态向量。把所有的特征向量放在一起，可以构成一个特征向量矩阵[ϕ]，也称为模态矩阵。

特征值求解方法大体可以分为矩阵相似变形法和迭代法。前者是根据矩阵的相似变形把矩阵[A]=[m]^-1[k]变换成对角矩阵，从而一举得到所有的特征值和特征向量；后者则是利用迭代解法逐次求解所需要的特征值和特征向量。把二者的优点结合起来的混合法是目前有限元分析中的主要解法，其代表就是Lanczos法。

关于特征值分析的详细介绍，请参见5.4的内容。这里，以一个二自由度系统为例，举例说明特征值及特征向量的概念。

图3.3 二自由度系统（为便于表示，模态变形在水平方向画出）

a）物理坐标 b）1阶模态 c）2阶模态

图3.3所示的二自由度系统的自由振动由以下方程决定

容易求得对应的特征值为

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对应于ω₁，特征向量为{ϕ₁}={x₁₁x₂₁}^T，满足以下方程

即

将特征值ω²₁的表达式代入，可以证明以上方程的系数矩阵的行列式为0，所以{ϕ₁}={x₁₁x₂₁}^T的非零解不唯一。x₁₁和x₂₁有无限个解，只要它们的比满足以下关系

这就是特征向量的特点，即由特征向量代表的模态形状表示的是一个相对变形的关系。同样，对于2阶模态的固有频率ω₂，可以得到对应的模态向量{ϕ₂}={x₁₂x₂₂}^T，满足下列比例关系

如果将质点2的模态变形进行正规化，则模态形状可以用以下矩阵表示

如果取m=2.0kg，k₁=1000.0N/m，k₂=1500.0N/m，则有

可见，1阶模态两个质点的振动同相，而2阶模态的两个质点的振动反相。模态形状如图3.3b和图3.3c所示（为便于表示，模态变形在水平方向画出）。

再次指出，不能混淆物理坐标上的响应（x₁，x₂）与模态变形（x₁₁，x₂₁；x₁₂，x₂₂）。前者是绝对量，其大小反映的是真实的变形；而后者是相对量，其大小仅表现一种相对的变形关系。

尽管模态向量可以任意放大缩小，通常按两种方法对其进行正规化处理。一种是质量正规化方法，即使模态向量满足以下关系

{ϕ_i}^T[m]{ϕ_i}=1.0（3.13）

例如上面例子的模态形状经过质量正规化后变为

另一种是最大值正规化方法，即使模态向量中的最大变形为1，这样，模态形状被限制在区间[-1.0，1.0]上。例如上面的例子经过这种正规化后成为