瞬态响应在1.6.1冲击力作用下的表现

考虑在很短的时间内（0＜t＜t₀），物体受到冲击力f（t）作用的情况。这时，运动方程为

由于f（t）的形式未知，直接求解以上非齐次微分方程比较困难。对于求解这种冲击响应问题，可以近似地按以下步骤来进行。首先，由于作用时间很短，在力的作用时间内物体还来不及移动，产生的位移可以忽略不计，因此，我们只需关注作用力结束后的响应即可。也就是说，引入一个新的时间变量τ=t-t₀≥0，把方程式（1.64）变为

由式（1.26）可知，上式的通解，即作用力结束后的响应为

剩下的问题只是如何确定两个常数C₁和C₂。

现在来考查这个问题的初始条件。假设在作用力作用开始时（t=0），物体已经具有初始位移x₀和初始速度v₀，则作用力作用结束时（t=t₀），位移仍可近似地认为不变，而速度一定会发生变化，以吸收以下冲量

假设冲击结束时物体的速度变为v₁，由动量定律可得

因此，方程式（1.66）的初始条件（τ=0）可以写为(www.xing528.com)

将以上条件代入式（1.66）及其微分式，可以得到两个联立方程，进而可以求得

于是可得冲击后物体的位移响应为

上式右边第一项是由初始条件引起的自由振动，第二项为外力激励的强迫振动。同时应注意，上式是在冲击力作用时间很短的条件下近似成立的。只有当作用时间趋近于0（t₀→0）时，上式才严格成立。此时，冲击力相当于一个脉冲函数

函数δ（t）称为单位脉冲函数，它有以下性质

于是，脉冲力作用下的强迫位移响应为

上式中，I₀=1时，变为单位脉冲作用下的响应，称为冲击响应函数（Impulse Response Function）。对于复杂的实际结构，单位脉冲作用下的冲击响应函数反映了结构的动力学特征，就像在频域里用频率响应函数（FRF）来评价结构的动特性一样，在时域里则用冲击响应函数来评价。事实上，把冲击响应函数进行傅里叶变换，就可得到频率响应函数。