考察频率响应特征的功—能关系

下面从外力做功与振动能量的关系的角度，考查强迫振动频率响应的特征。

1.无阻尼的情况

对于无阻尼系统，在固有频率以外，激励力与位移要么同相，要么逆相（见图1.6）。由式（1.38）可知，这时在一个周期里外力所做的功为0。根据激励力频率的大小，可以分为小于固有频率、等于固有频率和大于固有频率三种情况。

1）当ω＜ω_n时，ψ=0，在第一个1/4周期里外力所做的功为

t=0时，动能T_E和弹性势能U_E分别为（x=Xsinωt，）

即动能为最大，势能为0。而当t=T/4时（T为周期），动能为0，弹性势能为最大，表示为

根据式（1.37），可得（无阻尼的情况，D=0）

由上式可知，如果没有外力做功，W_1Q=0，最大动能等于最大势能；在有外力做功的情况下，最大动能不等于最大势能。对于这里所讨论的情况（ω＜ω_n），在位移由0增加到最大的第一个1/4周期里，外力做正功，势能由0变为最大，U_max=W_1Q+T_max。即除了由动能转化来的部分以外，外力所做的正功也转变为弹性势能而储存起来。因此，最大势能大于最大动能。

同样，考查在第二个1/4周期的情况，可得以下关系

上式表明，在位移由最大降到0的第二个1/4周期里，势能并没有全部转化为动能，其中一部分用于对外力做功（外力做负功），即在第一个1/4周期里由外力做正功而储存起来的弹性势能在第二个1/4周期里通过对外力做功而释放出来。“最大势能大于最大动能”的特点依然保持。

第三个1/4周期与第一个1/4周期相同，第四个1/4周期与第二个1/4周期相同。

可见，外力做功的过程与系统势能的储存与释放相对应。由于能量守恒，储藏的能量与释放的能量完全相等，一正一负，总的功为零。这意味着没有振动能量转变为热能消耗掉，振幅为一定。由式（1.39）或式（1.40）很容易求得振幅为

这与1.2.2节中通过求解运动方程得到的结果一致。

2）当ω=ω_n时，ψ=π/2，外力在每个1/4周期里都做正功，可得

在第一个1/4周期与第二个1/4周期里，分别有关系式

式（1.41）表明，外力所做的正功等于相对于最大势能的增加量。即在第一个1/4周期里，外力所做的功变为弹性势能，最大势能大于最大动能。而式（1.42）表明，外力所做的正功等于（相对于第一个1/4周期末的最大势能）动能的增加量，即在第二个1/4周期里，外力所做的功变为系统的动能，最大动能大于最大势能。如此周而反复，动能和势能越来越大，振幅也越来越大（见图1.5）。

3）当ω＞ω_n时，ψ=π，外力在第一个1/4周期里做负功，W_1Q=-F₀X/2，利用同样的分析方法，可以得到以下能量关系(www.xing528.com)

可见，此时有最大动能大于最大势能的特点。在这个1/4周期里，物体通过惯性对外力做功，从而释放出一部分动能；而在第二个1/4周期里，外力做正功，所做的功转化为动能的增加，此时的能量关系为

最大动能大于最大势能的特点依然成立。可见，当ω＞ω_n时，外力做功与动能的储存与释放相对应，在一个周期里外力所做的功之和为0，振动的振幅为一定。

2.有阻尼的情况

以上通过对无阻尼系统的能量分析，我们掌握了外力的作用与共振的关系。对于有阻尼系统，也可以进行同样的分析。

由式（1.13）可知，在每个1/4周期里粘性阻尼所消耗的能量为

D=cπωX²/4

在第一个1/4周期里，根据式（1.37）可得关系式

同样，在第二个1/4周期里，有

把式（1.43）与式（1.44）相加，可得

πF₀Xsinψ=cπωX² （1.45）式（1.45）左边代表外力在一个周期里所做的功[见式（1.38）]，右边代表阻尼力所消耗的能量[见式（1.13）]。因此，在稳态强迫振动中，外力所做的功等于阻尼所消耗掉的能量（通过阻尼力做功而转化为热能）。

把式（1.43）与式（1.44）相减，可得

当ω＜ω_n时，由图1.16可知，相位角在（-π/2，0）的区间上，cosψ＞0，因此有最大势能大于最大动能的特点；当ω＞ω_n时，相位角在（-π，-π/2）的区间上，cosψ＜0，因此有最大动能大于最大势能的特点；当ω=ω_n时，ψ=π/2，cosψ=0，最大动能等于最大势能，即共振时，动能与势能之间实现等值转化，不像无阻尼的情况那样不断增加。这是有粘性阻尼的系统共振时的重要特征。由式（1.45）可知，共振振幅为一个有限值

容易证明，式（1.47）与式（1.32）等价。另外，联立式（1.45）与式（1.46），可求得振幅X和相位ψ，结果与式（1.30′）相同。

需要说明的是，对于共振以外的情况（ω＜ω_n或ω＞ω_n），可以把激励力分解为与位移同相的部分和直交的部分。前者一个周期里的做功为0，其做功过程与势能或动能的储藏与释放相对应；后者一周期上做功大于0，其值等于阻尼耗能，即这部分功转化成了热能消耗掉。

以上考查结果归纳在表1.2中。

表1.2 强迫振动的特征总结