强迫振动及其共振特性分析

假定在图1.1的系统中，有外力作用在物体上，则物体的运动由方程式（1.2）所决定。外力的形式多种多样，可以是时间的任意函数。这里考虑角频率为ω的简谐外力，F（t）=F₀ sinωt，F₀为力幅，则方程式（1.2）成为

由定律2可知，首先需找到这个方程的一个特解。由于方程右端是一个正弦函数，可以设该方程的一个特解为x=Xsinωt。代入上式可得

这里，X_st=F₀/k表示物体在最大力作用下的静变形。方程式（1.7）所对应的齐次型的通解已由式（1.5）给出，于是，该方程的通解为

C₁、C₂为两个由初始条件确定的常数。式（1.8）前两项代表振动频率为固有频率的自由振动成分，第三项则代表与激励力同频率的强迫振动成分。由于有两个独立的频率成分存在，该振动不再是简谐振动。

对于静止的初始条件x（0）=0，，可以求得

代入式（1.8），可得振动响应为

可见，当ω=ω_n时，振幅将变为无穷大，这就是通常所说的共振现象。

如图1.5所示为固有频率2Hz的无阻尼单自由度系统在静止的初始条件下，用正弦波激振时的位移响应（在此计算中，调整力幅的大小，使得X_st=F₀/k=1mm）。当激振频率为0.5Hz（ω/ω_n=0.25）及4Hz（ω/ω_n=2）时，位移响应由固有频率与激励频率两个频率成分上的响应合成，振幅一定。当激振频率等于固有频率时（ω/ω_n=1），发生共振，振幅越来越大（为了避免被0除的问题，在这个计算中，激励频率约为2Hz）。

图1.5 固有频率为2Hz的无阻尼单自由度系统的强迫振动响应

a）ω/ω_n=0.25 b）ω/ω_n≈1 c）ω/ω_n=2

在无阻尼的理想状态下，一旦振动发生，将无限地持续下去。实际中，由于阻尼的作用，自由振动项会很快衰减掉，最后只剩下强迫振动的成分，因而我们更关心式（1.8）中的第3项。在此，略去自由振动项，只考虑强迫振动一项，式（1.8）成为

式（1.9）与激振力F（t）=F₀ sinωt相比，可得

这是一个随激振频率变化的函数，称为系统的频率响应函数（Frequency Response Function，FRF）。这种从频率响应的角度来考查系统振动特性的方法称为频域分析法。

上式有一个显著的特点，就是当ω=ω_n时，分母变为0，响应为无穷大。令

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则对于ω＜ω_n，式（1.10）可以变形为（应用欧拉公式e^±jθ=cosθ±jsinθ）

上式表明，位移响应与激振力之间的相位差为0，即二者同相。

同样，对于ω＞ω_n，式（1.10）可以变形为

这时，位移与激振力之间的相位差为180°，即二者反相。

应用极坐标表示形式，上述频率响应函数可以写为更一般的形式

A₀（ω）称为幅频特性，φ（ω）称为相频特性。我们把上述位移与激励力之间的传递函数H（ω）称为柔顺性函数（Compliance）。相应地，把速度与激励力之比称为导纳函数（Mobility），加速度与激励力之比称为惯量函数（Inertance）。

如图1.6所示为根据式（1.10）绘制的幅频响应曲线及相频曲线。这里，共振时刻（激振频率为2Hz）的相位取为-90°（理由参照图1.7）。相对于相频特性，更重要的是幅频特性。当激振频率接近于0Hz时，幅值为一常数，等于弹簧刚性系数的倒数，即柔性系数，用于衡量静力作用下的变形。当激振频率远大于共振频率时，幅值变得很小，最终趋近于0。这是因为激振力变化太快，物体由于惯性的影响跟不上力的变化，结果是原地不动。

图1.6 无阻尼单自由度系统的频率响应曲线

我们知道，当一个静态力（不随时间变化或变化很慢，即频率为0或接近于0）作用在结构上时，结构将产生变形，变形的大小由力的大小和结构的刚性所决定。而当一个动态力（随时间较快变化）作用在结构上时，此时的变形不但取决于力的大小和刚性值，而且与激励力的频率及结构的固有频率有关。当发生共振时，产生的变形将远远大于同样大小的静态力引起的静变形，很可能使结构发生破坏。因此，掌握并优化产品的动态特性，以避免发生共振对于设计工程师来说非常重要。

在此，引入动刚性的概念。动刚性为柔顺性函数的倒数，也是频率的函数；频率为0时，所对应的值就是静刚性。共振时，动刚性最小（对于这里所讨论的无阻尼共振，动刚性为0）；频率大于共振频率以上，随着频率的增加，动刚性越来越大。

相对于以上频域分析，如图1.5所示在时间轴上观察振动特性的方法称为时域分析。这里，我们再来看一个时域分析的例子。图1.7是在初始条件为0的条件下对上述单自由度系统（固有频率为2Hz）用扫描正弦力进行激振的结果。在0～5s的时间里，激振频率由0Hz变为4Hz。在2.5s的时候，频率为2Hz，发生共振。图中清楚地显示，共振之前，位移和激振力同相，而在共振之后，位移和激振力反相。在共振时刻（t=2.5s），位移为最大，而激振力刚好为0，二者成90°相位差的关系。

图1.7 正弦扫描激振时的位移响应及激振力

最后，作为参考，这里给出上述计算中所使用的扫描正弦的定义

其中，，在时间段（t₀，t₁）上，频率由f₀变为f₁，则有