如何解决不等式约束问题

对于含不等式约束的优化问题

引迸松弛变量Z=（z₁，z₂，…，z_m）^T，并巨令

g_j（X，Z）=g_j（X）+z_j²（j=1，2，…，m）

于是，原问题转化成等式约束的优化问题

这样就可以采用等式约束的增广乘子法来求解了。取定一个足够大的r（r＞r′）后，式（5-65）的增广乘子函数的形式为

并对一组乘子向量λ^*（初始乘子向量仍取零向量）求minM（X，Z，λ），得X^（k）=X^*（λ^（k）），ZX^（k）=Z^*（λ^（k）），再按式（5-62）计算新的乘子向量

λ_j^（k+1）=λ_j^（k）+rg′_j（X，Z）=λ_j^（k）-r［g_j（X）+z_j²]（j=1，2，…，m） （5-67）

将增广乘子函数的极小化和乘子迭代交替迸行，直至X、Z和λ分别趋近于X^*、Z^*和λ^*。

虽然从理论上讲，这个计算过程与仅含等式约束的情形没有什么两样，但由于增加了松弛变量Z，使原来的n维极值问题扩充成n+m维问题，势必增加计算量和求解的困难，有必要将计算加以简化。

将式（5-66）所示的增广乘子函数改写成(www.xing528.com)

利用解析法求函数M（X，Z，λ）关于Z的极值，即令▽M（X，Z，λ）=0可得

z_j［λ_j+r（g_j（X）+z_j²）]=0（j=1，2，…，m）

若λ_j+rg_j（X）≥0，则z_j²=0

若λ_j+rg_j（X）＜0，则z_j²=-［（λ_j/r）+g_j（X）]

于是，可得

将式（5-69）代入式（5-68），得

这就是不等式约束优化问题的增广乘子函数，它与式（5-68）的不同之处在于松弛变量Z已经完全消失了。实际计算时，仍然只需要对给定的λ及r，求关于X的无约束极值minM（X）。将式（5-69）代入式（5-67），得到乘子迭代公式

λ_j^（k+1）=max｛0，λ_j^（k）+rg_j（X）｝（j=1，2，…，m） （5-71）