搜索区间的确定与消去法原理

图3-1 具有单谷性的函数

欲求一元函数f^（x）的极小点x^*（为书写简便，这里仍用同一符号f表示相应的一元函数），必须先确定x^*所在的区间。

1.确定搜索区间的外推法

在一维搜索时，我们假设函数f^（x）具有如图3-1所示的单谷性，即在所考虑的区间［a，b]内部函数f^（x）有唯一的极小点x^*，为了确定极小点x^*所在的区间［a，b]，应使函数f^（x）在区间［a，b]上形成“高-低-高”趋势。

为此，从a=0开始，以初始步长h₀向前试探。如果函数值上升，则步长变号，即改变试探方向。如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。区间的始点、中间点依次沿试探方向移动一步。此过程一直迸行到函数值再次上升时为止，即可找到搜索区间的终点。最后得到的三点即为搜索区间的始点、中间点和终点，形成函数值的“高-低-高”趋势。

图3-2表示沿a的正向试探。每走一步都将区间的始点、中间点沿试探方向移动一步（迸行换名）。经过三步最后确定搜索区间［a₁，a₃]，并巨得到区间始点、中间点和终点a₁＜a₂＜a₃所对应的函数值y₁＞y₂＜y₃。

图3-3所表示的情况是，开始是沿a的正方向试探，但由于函数值上升而改变了试探方向，最后得到始点、中间点和终点a₁＞a₂＜a₃及它们的对应函数值y₁＞y₂＜y₃，从而形成单谷区间［a₃，a₁]为一维搜索区间。

图3-2 正向搜索的外推法

图3-3 反向搜索的外推法

上述确定搜索区间的外推法，其程序框图如图3-4所示。

2.区间消去法原理(www.xing528.com)

搜索区间［a，b]确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解，假定在搜索区间内任取两点a₁、b₁，a₁＜b₁，并计算函数值f（a₁）、f（b₁）。于是将有下列三种可能情形：

1）f（a₁）＜f（b₁），如图3-5a所示。由于函数为单谷，所以极小点必在区间［a，b₁]内。

2）f（a₁）＞f（b₁），如图3-5b所示。同理，极小点应在区间［a₁，b]内。

3）f（a₁）=f（b₁），如图3-5c所示，这时极小点应在［a₁，b₁]内。

根据以上所述，只要在区间［a，b]内取两个点，算出它们的函数值并加以比较，就可以把搜索区间［a，b]缩短成［a，b₁]或［a₁，b]。应当指出，对于第一种情况，我们已算出区间［a，b₁]内点a₁的函数值，如果要把搜索区间［a，b₁]迸一步缩短，只需在其内再取一点算出函数值并与f（a₁）加以比较，即可达到目的。对于第二种情况，同样只需再计算一点函数值就可以把搜索区间继续缩短。第三种情形与前面两种情形不同，因为在区间［a₁，b₁]内缺少已算出的函数值。要想把区间［a₁，b₁]迸一步缩短，需在其内部取两个点（而不是一个点）计算出相应的函数值再加以比较才行。如果经常发生这种情形，为了缩短搜索区间，需要多计算一倍数量的函数值，这就增加了计算工作量。因此，为了避免多计算函数值，我们把第三种情形合并到前面两种情形中去。例如，可以把前面三种情形改为下列两种情形：

1）若f（a₁）＜f（b₁），则取［a，b₁]为缩短后的搜索区间。

2）f（a₁）＞f（b₁），则取［a₁，b]为缩短后的搜索区间。

图3-4 外推法的程序框图

图3-5 区间消去法原理

a）f（a₁）＜f（b₁） b）f（a₁）＞f（b₁） c）f（a₁）=f（b₁）