目标函数等值面（线）的优化

目标函数的值是评价设计方案优劣的指标。n维变量的目标函数，其函数图像只能在n+1维空间中描述出来。当给定一个设计方案，即给定一组x₁，x₂，…，x_n的值时，目标函数f（X）=f（x₁，x₂，…，x_n）必相应有一确定的函数值；但若给定一个f（X）值，却有无限多组x₁，x₂，…，x_n值与之对应，也就是当f（X）=a时，X=（x₁，x₂，…，x_n）^T在设计空间中对应有一个点集。通常这个点集是一个曲面（二维是曲线，大于三维称为曲面），称之为目标函数的等值面。当给定一系列的a值，取a=a₁，a₂，…时，相应地有f（X）=a₁，a₂，…，这样可以得到一组超曲面族——等值面族。显然，等值面具有下述特性，即在一个特定的等值面上，尽管设计方案很多，但每一个设计方案的目标函数值却是相等的。

现以二维无约束最优化设计问题为例阐明其几何意义。如图2-1所示，二维目标函数值f（X）=f（x₁，x₂）在以x₁、x₂和f（X）为坐标的三维坐标系空间内是一个曲面。在二维设计平面x₁Ox₂中，每一个点X=（x₁，x₂）都有一个相应的目标函数值f（X）=f（x₁，x₂），它在图中反映为沿f（X）轴方向的高度。若将f（X）=f（x₁，x₂）面上具有相同高度的点投影到设计平面x₁Ox₂上，则得f（X）=f（x₁，x₂）=a的点集，称为目标函数的等值线（等值线是等值面在二维设计空间中的特定形态）。当给定一系列不同的a值时，可以得到一组平面曲线：f（X）=f（x₁，x₂）=a₁，f（X）=f（x₁，x₂）=a₂，…，这组曲线构成目标函数的等值线族。由图可以清楚地看到，等值线的分布情况反映了目标函数值的变化情况，等值线越向里，目标函数值越小，对于一个有中心的曲线族来说，目标函数的无约束极小点就是等值线族的一个共同中心X^*。故从几何意义上说，求目标函数无约束极小点也就是求其等值线族的共同中心。(www.xing528.com)

以上二维设计空间等值线的讨论，可以推广到分析多组问题。但需注意，对于三维问题在设计空间中是等值面，高于三维的问题在设计空间中则是等值超曲面。