求解两平行线中垂面与点MN的交点范例

【例1-30】 用换面法求直线AB与C点之间的距离及投影，如图1-30（题）所示。

图1-30 （题）

图1-30 （解）

【解】 点到直线的距离即为点向直线所作垂线的长度。通过一次直线变换为投影面垂直线，则所作垂线就变成新投影面的垂直线，即可得到两者距离。距离的投影可以通过返回原投影得到。求解结果如图1-30（解）所示。

【例1-31】 求平面三角形ABC对V面的夹角β，如图1-31（题）所示。

【解】 要求对V面的夹角，只需将三角形变换为铅垂面，在新投影面体系中，铅垂面的积聚性投影与新投影轴的夹角即为所求。求解结果如图1-31（解）所示。

【例1-32】 求两平行线AB、CD之间的距离实长，如图1-32（题）所示。

【解】 将AB、CD两线变换为投影面的垂直线，则它们的积聚性投影为两个点，这两个点的距离即为AB、CD两线之间的距离实长。结果如图1-32（解）所示。

【例1-33】 在线段MN上作出与两平行线段AB、CD等距离的点K。

【解】 1.分析

与两平行线等距离的点的轨迹是两平行线之间垂直连线的中垂面。如果将两平行线换面变成投影面垂直线，则该中垂面也就积聚为一直线。本题实质是求出MN与该中垂面的交点。

图1-31 （题）

图1-31 （解）

图1-32 （题）

图1-32 （解）

2.步骤

1）经V₁/H换面得到a′₁b′₁和c＇₁d′₁，同时变换MN直线得到m＇₁n＇₁。

2）确定X₂轴，经V₁/H₂换面得到a₂b₂和c₂d₂，同时变换MN得到m₂n₂；

3）作（a₂）b₂（c₂）d₂的中垂线，交m₂n₂与k₂点；

4）返回k₂点，即得所求，结果如图1-33（解）所示。

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图1-33 （题）

图1-33 （解）

【例1-34】 求两三角形ABC与BCD的夹角，如图1-34（题）所示。

图1-34 （题）

图1-34 （解）

【解】 当相交的两平面同时为某一投影面的垂直面时，则该两平面在此投影面的积聚性投影反映两平面夹角。因此，本题求解的关键是将两平面ABC、BCD的交线BC转换为投影面的垂直线，经一次换面即可。求解结果如图1-34（解）所示。

【例1-35】 已知平行两直线AB、CD相距20mm，用换面法求CD的水平投影（只求一解），如图1-35（题）所示。

【解】 1.分析

通过二次变换将一般位置直线变换为投影面垂直线，则平行两条平行直线之间的距离转变为两点之间的距离，距已知点距离为定值的点的轨迹为圆。

2.步骤

1）经V/H₁换面将AB变换为投影面平行线，得到a₁b₁。

2）经V₂/H₁换面得到直线AB的积聚性投影a₂′b₂′，以此为圆心，以20mm为半径作圆，同时作平行于O₂X₂轴直线，并使该直线到O₂X₂的距离等于d′到O₁X₁轴距离；该直线与圆交点即为c₂′d₂′。

3）返回c₂′d₂′即得CD的水平投影cd，求解结果如图1-35（解）所示。

图1-35 （题）

图1-35 （解）

【例1-36】 已知等腰三角形ABC的底边BC在直线MN上，BC长等于底边上的高，试作出该等腰三角形，如图1-36（题）所示。

【解】 要作该三角形，首先要求出底边的高，该高可由两次换面转化为点点之间的距离；得到该距离实长后以a′₁到b′₁c′₁的垂足为圆心，高的实长的一半为半径作圆得等腰三角形的其他两顶点。求解结果如图1-36（解）所示。

图1-36 （题）

图1-36 （解）