结构动力分析中的自适应有限单元法研究

一、技术特点

目前，动力分析的自适应研究还主要集中在特征值和特征向量的问题上，且自适应过程多采用h型方法。Cook和Avrashi（1992）针对h型自适应有限单元动力分析，解决了自适应网格动态生成问题。随后，Wiberg等人（Wiberg，Zeng，Li，1992；Wiberg，Li，1994）实现了动力响应解的空间网格自适应和时步自适应过程。此外，Belytschko和Tabbara（1993）也用h型自适应有限单元法分析了结构动力学问题。

1986年，Friberg首次利用升阶谱有限单元法对广义特征值问题进行了误差估计，开创了在结构动力分析领域的p型自适应有限单元法研究。诸德超（1993）则用升阶谱有限单元法研究了梁的振动问题。

笔者根据Wilson-θ法的增量形式，实现了结构动力响应的p型自适应有限单元法过程（费文平，李永红，陈胜宏，2003）。

与弹粘塑性问题类似，因为应力集中的位置是随时间变化的，故理论上每一时间步都需对插值函数阶数进行p型自适应调整。这个思路实现起来无本质困难，但计算量很大。笔者建议，仍可以根据计算机的计算能力和计算时间的限制，分别采用每个时间步的p型自适应调整、若干个时间步的p型自适应调整以及全部时间步结束后的p型自适应调整。下面以单元升阶为例，给出全部时间步结束后的p型自适应调整的基本算法。

二、基本算法

弹性问题动力分析有限单元法的基本原理已在本篇第一章作了介绍，本节把p型自适应弹粘塑性分析技术引入结构的动力分析。考虑到材料的粘塑性特性，本构方程需以增量形式来描述，相应地，结构的动力平衡方程也采用增量表达式（顾淦臣，1989）。

1.基本过程

（1）静力分析。

（2）解运动方程，得到结构的初始加速度。

（3）进行结构的模态分析，确定Rayleigh阻尼系数。

（4）对每一时步，进行结构的动力响应分析，根据所得到的位移增量进行弹粘塑性分析，即利用运动方程进行弹粘塑性平衡迭代。

（5）进行误差估计及p型自适应分析。

2.具体步骤(www.xing528.com)

（7）若t＜t max，则令t=t+Δt，返回到步骤（2）。

（8）按式（1-8-106）估计各单元的网格离散误差ei。

（9）若对所有的单元均有ei≤et，则自适应计算结束；否则，令不满足条件的单元p=p+1，且t=0，返回到步骤（1）。

三、结构—水耦合分析

在结构—水耦合分析中，需要对水体误差范数进行估计。若取L 2范数估计，则对N w个水体单元的网格，可定义水体压力误差范数为

（7）若t＜t max，则令t=t+Δt，返回到步骤（2）。

（8）按式（1-8-106）估计各单元的网格离散误差ei。

（9）若对所有的单元均有ei≤et，则自适应计算结束；否则，令不满足条件的单元p=p+1，且t=0，返回到步骤（1）。

三、结构—水耦合分析

在结构—水耦合分析中，需要对水体误差范数进行估计。若取L 2范数估计，则对N w个水体单元的网格，可定义水体压力误差范数为

水体单元的升阶分析过程与结构单元的升阶过程相同。

水体单元的升阶分析过程与结构单元的升阶过程相同。