p型有限单元法与传统有限单元法相比，在数值计算方法方面（主要是数值积分和方程组的解法）有其自身的特点（Tsuji，Carnevali，1992；Carnevall，Morris，Tsuji，Taylor，1993；Hinnant，1994；Morris，Papadrakakis，Babilis，1994；陈新度，余俊，周济，1997；程昭，陈胜宏，1999；王周宏，胡于进，1999）。
一、数值积分
有限单元法中，数值积分主要采用高斯积分方法。当阶数升高时，基函数将是高阶多项式，为保证精度，需要更多的积分点，从而使运算量大大增加，三维问题尤为突出。有些文献认为，p型有限单元法由于运算量随着p的增大而急剧增加，其使用将十分有限，p不会超过4。为避免这种瓶颈现象发生，下面介绍一些减少运算量的措施和一种新颖的矢量积分法。
（一）减少积分运算量的措施
这种措施主要针对高斯积分方法，以单元刚度矩阵为例，其中的一个子块为
把本章第一节中定义的点基函数、棱基函数、面基函数和体基函数统一记为φi[1≤i≤f e（p）]，则式（1-8-125）中的应变矩阵为
利用阶谱单元的特点，减少高斯积分运算量的措施有：
（1）充分利用[B]的稀疏性，对于弹性问题，还可以利用[D]的稀疏性。将[Bi]T[D][Bj]的各个元素先进行代数运算，再对各个元素进行数值积分。
（2）单元刚度矩阵的不同元素采用不同阶高斯积分来计算。实际上，如果对高阶阶谱单元的各个元素全部采用高阶高斯积分，则计算时间将难以接受。
（3）另外，从基函数的构造可以看到，即使一个方向上的阶数很高，另两个方向上的阶数可能很低，因此不同方向上也可以采用不同阶的高斯积分。
式中：cl、cm、cn为高斯点；W l、W m、W n为高斯权重。
设p（f，τ）表示函数f在τ方向上的阶数，则有
单元刚度矩阵形成时间比较见表1-8-1。
表1-8-1 单元刚度矩阵形成时间比较单位：s
注 使用PⅡ233微机。
表1-8-1表明，措施（3）能在措施（2）的基础上进一步大大减少运算时间，当阶数较高时，运算时间甚至能减少90%以上。
（二）矢量积分法
矢量积分法利用了p型有限单元法的阶谱特点，其运算代价比高斯积分法小。下面以一维矢量积分法为例进行说明。
1.矢量积分法基本原理
单元刚度矩阵一般可以表示为如下形式
式（1-8-134）表明，单元刚度矩阵是两个函数的点积的积分，其中一个只和行标i有关，另一个只和列标j有关（雅可比行列式可并入任一函数），故可将式（1-8-134）改写成下面的简单形式
函数g（X）和h（X）的勒让德级数表示式为
这里，I的范围是从0到某一适当的奇数m，且n=（m+1）/2。权函数W j与正交多项式的阶数I、积分点X j以及积分点的个数n有关。
2.积分点的选择
对积分点具体位置的优劣评价还有待进一步研究，一个较好的系列是
式（1-8-145）的优点是，在积分过程开始后，可以先试算前面的几个积分点，如果达不到要求的精度，可以再加算一些点，先前的计算并没有浪费。这种方案即所谓的自适应型。
其他可行的积分位置包括Gauss-Legendre、Gauss-Lobatto等系列。
3.权函数的计算(www.xing528.com)
（1）当I是偶数时。由式（1-8-143）和式（1-8-142）得
二、线性方程组的解法
p型有限单元法形成的线性方程组
有如下的特点：
（1）[A]是大型对称稀疏正定矩阵。
（2）[A]的非零元素随机分布。
（3）[A]和{b}具有阶谱特点。
下面首先介绍求解方程的对称逐步超松弛预处理共轭梯度法，简称SSOR-PCG解法，这种方法比较适合具有前两个特点的方程组；然后介绍其改进的迭代格式；最后结合特点（3），给出适合p型有限单元线性方程组的完整解法。
1.SSOR-PCG解法（吕涛，石济民，林振宝，1992）
设[M]=（[S]T[S]）-1为对称正定矩阵，则式（1-8-159）等价于
如果δ≤ε，则停止，否则
转到R。
等价问题式（1-8-160）的收敛速度取决于条件数Cond（[A′]）。若[M]为单位矩阵，则式（1-8-161）为原问题的共轭梯度法（CG）的迭代格式，其收敛速度取决于Cond（[A]），每步迭代的主要计算量为（ra+5）n次乘法运算。这里ra为[A]的各行非零元素个数的平均值。通常Cond（[A]）相当大，因此希望Cond（[A′]）≪Cond（[A]）。如此选择的[M]称为[A]的预处理矩阵。好的预处理矩阵应满足如下条件：
(1)Cond(A′)≪Cond(A)。
（2）相对于[A]，不要求过多内存。
（3）解方程[M]{h}={g}较解方程[A]{x}={b}远为容易。
当[M]取为对称逐步超松弛迭代法（SSOR法）的分裂矩阵时，即
可以满足上述条件。
式中：ω为松弛因子，且0＜ω＜2；[D]为[A]的对角矩阵；[L]为[A]的严格下三角矩阵。
此时对式（1-8-160）实施CG算法，即称为SSOR-PCG法。
在SSOR-PCG法中，计算{h}=[M]-1{g}相当于三角分解法中的前代与回代过程，或者等价于用SSOR法迭代一次。因此实际计算时，不必对[M]求逆，也不必另开辟数组存放矩阵。计算[A]{d}和求解[M]{h}={g}仅对[A]的非零元素进行运算，所以仅需储存[A]的下三角矩阵中的非零元素。若将{h}和{d}放大同一倍数，迭代格式仍然适用。因此，[M]中的2-ω可不参加计算。该法每步迭代的主要计算量为（2ra+6）n次乘法运算，其中（ra+1）n次用于计算{h}=[M]-1{g}，ran次用于计算[A]{d}。
林绍忠（1997）及其他一些研究者进一步提出了对SSOR-PCG解法的改进格式。
2.升阶加速方案
上述SSOR-PCG解法及其迭代格式是一种普遍的解法，并未考虑[A]和{b}的阶谱特点。考虑阶谱特点后，可以充分利用低阶时已经计算出来的方程组的解。
（1）迭代方法。设p阶时方程组为
式中：s为在每次重分析过程中的迭代次数。
计算经验表明，这种迭代方法收敛很快，一般不超过5次。
（2）初值法。初值法是一种更方便、更直接的加速方法。设p-1阶时方程组的个数为n p-1，当升到p阶后，方程组的个数为n p=n p-1+n a。令式（1-8-161）中{x 0}为
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