基本理论：p型自适应有限单元法优化

p型自适应有限单元法是由常规的位移协调元结合数量逐渐增加的附加自由度构成的。这些附加自由度以不违反位移连续条件的逐次升幂多项式函数作为基函数。Petruska指出，对于C0连续性问题，即只要求位移本身连续的问题，不管近似函数是否连续可微，只要h收敛性存在，则p收敛性也必定存在。

p型自适应有限单元法在自由度的安排上，使低阶阶谱单元的自由度是高阶阶谱单元的自由度的一个子集。因而，刚度矩阵以及荷载列阵总是同一问题的高阶阶谱单元相应矩阵的子阵。这样，在升阶过程中，只需在原有矩阵方程的基础上扩充新的行和列，即可得新的矩阵方程。此外，还可充分利用原有的计算结果作为出发点，迭代求解新矩阵方程的解。

20世纪70年代中期，华盛顿大学编制了一个试验性的p型有限单元法程序COMETX，该程序的显著特点是利用了阶谱单元（Hierarchical Elements）。阶谱单元的概念由Zienkiewicz等人提出（Zienkiewicz，Irons，Scott，Cambell，1970），后又作了进一步阐述（Zienkiewicz，De，Gago，Kelly，1983）。此后，p收敛及其相关性质的初步论述也散见于文献中。Babuska于1981年首次系统地作了p型有限单元法的理论分析（Babuska，Szabo and Katzs，1981），指出p型有限单元法得到的结果并不比相同自由度数的h型有限单元法得到的结果差，而对于奇点问题，p型有限单元法的收敛速度至少是准均匀单元h型有限单元法的两倍。1985年，第一个p型有限单元法的商业程序PROBE在Noetic公司问世；1986年推出第二版。不过PROBE当时只能计算二维线弹性问题。意大利的三维有限单元法程序FIESTA也具有p型有限单元法的某些特点。诸德超（1993）以封闭形式给出了一维阶谱单元基函数和积分的显式表达式，解决了一维分析中的数值误差的积累问题，并把p型有限单元法应用于振动分析。Hinnant（1994）提出了针对p型有限单元法的矢量积分法，大大减少了p型有限单元法中数值积分的计算时间。最近10多年，许多学者对p型有限单元法中线性方程组的解法作了较深入的研究，提出了多种针对性的解法（Morris，Tsuji，Carnevali，1992；Papadrakakis，Babilis，1994；陈新度，余俊，周济，1997；王周宏，胡于进，1999）。目前，对p型有限单元法（又称为阶谱有限单元法）的研究主要是针对二维问题，且偏重于理论分析，而对工程计算的具体过程如何实现论述较少。(www.xing528.com)

本章收集整理了散见于文献中的各种阶谱单元及其基函数的表达式，给出了一维阶谱单元、三角形阶谱单元、四边形阶谱单元、四面体阶谱单元、六面体阶谱单元和三棱柱体阶谱单元的至少一种较好的基函数的形式，并作出了其函数图。本章还首次将p型自适应有限单元法归类为全域升阶方法、单元升阶方法和自由度升阶方法，并给出了具体的实施过程，避免了p型自适应有限单元法中含糊不清的升阶概念。同时，为提高解题速率，利用阶谱单元的特点，探求了减少高斯积分运算量的措施，并介绍了针对p型有限单元法的矢量积分法。

以上工作都是围绕p型自适应有限单元法的基本特点即阶谱性进行的，可以大体上勾画出p型自适应有限单元法理论的轮廓。