误差分析与尺度估计简介

一、基本理论

误差分析在自适应有限单元分析体系中有着重要的应用。通过对当前网格（尺度为h）下有限单元计算结果进行误差分析，得出优化网格尺度场，然后经网格生成器调用后，生成新的有限单元网格，开始下一轮自适应有限单元计算。由于这种误差估计是在已知上一次计算结果的基础上进行的，是一种后验性误差估计，与讨论稳定性、收敛性的先验性误差估计不同。

h型自适应有限单元法后验性误差估计大致分为两类：基于平衡方程的残差法和基于有限单元解的后处理法。1978年，Babuska和Rheinboldt最早提出残差法，这种方法数学理论基础较完善，但是形式较复杂，因此并没有在工程中得到广泛应用。本章重点讨论Zienkiewicz等人（Zienkiewicz，Zhu，1992；Zienkiewicz，Zhu，1995）提出并不断完善的后处理法。

一个线弹性有限单元问题可以描述为

式中：{δ}e为单元的结点位移；{ε}为应变；{σ}为应力。

在某个固定插值基函数的阶数下，对网格尺度为h的网格，记{u h}、{εh}、{σh}为有限单元计算结果，记{u}、{ε}、{σ}为精确解，则误差向量为

式中：{δ}e为单元的结点位移；{ε}为应变；{σ}为应力。

在某个固定插值基函数的阶数下，对网格尺度为h的网格，记{u h}、{εh}、{σh}为有限单元计算结果，记{u}、{ε}、{σ}为精确解，则误差向量为

常采用范数‖e‖的形式对误差向量{e}进行度量。在弹性条件下，以上三种误差可以互换，故记误差范数为

常采用范数‖e‖的形式对误差向量{e}进行度量。在弹性条件下，以上三种误差可以互换，故记误差范数为

能量本身是一个很好的范数定义。在弹性条件下

能量本身是一个很好的范数定义。在弹性条件下

有些文献还引用更简化的范数定义

有些文献还引用更简化的范数定义

有时也用到能量的符号，其定义为

有时也用到能量的符号，其定义为

已证明，误差能量范数是网格尺度h的l阶微量（Zienkiewicz，Zhu，1991），即

已证明，误差能量范数是网格尺度h的l阶微量（Zienkiewicz，Zhu，1991），即

式中：p为形函数的阶数；λ为奇点的强度，λ＜1。

由于有限单元问题中精确解{u}、{ε}、{σ}并不能被求出，故只有将{u h}、{εh}、{σh}与某精度较高的解{u*}、{ε*}、{σ*}相比较，以估计误差，即

式中：p为形函数的阶数；λ为奇点的强度，λ＜1。

由于有限单元问题中精确解{u}、{ε}、{σ}并不能被求出，故只有将{u h}、{εh}、{σh}与某精度较高的解{u*}、{ε*}、{σ*}相比较，以估计误差，即

这些精度较高的解{u*}、{ε*}、{σ*}称为精确解的“最佳猜测”。

利用误差指数θ评判这种误差估计的效果，即

这些精度较高的解{u*}、{ε*}、{σ*}称为精确解的“最佳猜测”。

利用误差指数θ评判这种误差估计的效果，即

当θ≈1时，误差估计的效果是最好的。问题是这种将粗略解与精度较高的“最佳猜测”解相比较的方法是否能真实反映粗略解的误差程度，即θ的取值是否会接近1？事实上，理论与实际计算都表明，在一定条件下已有的误差估计方法是可靠的。

将近似误差范数写成式（1-6-9）的形式，即

当θ≈1时，误差估计的效果是最好的。问题是这种将粗略解与精度较高的“最佳猜测”解相比较的方法是否能真实反映粗略解的误差程度，即θ的取值是否会接近1？事实上，理论与实际计算都表明，在一定条件下已有的误差估计方法是可靠的。

将近似误差范数写成式（1-6-9）的形式，即

根据范数的性质，有(www.xing528.com)

根据范数的性质，有

其中‖e*‖是精度较高的“最佳猜测”与精确解相比较得出的误差。由式（1-6-10）和式（1-6-12）得到

其中‖e*‖是精度较高的“最佳猜测”与精确解相比较得出的误差。由式（1-6-10）和式（1-6-12）得到

二、实用网格误差估计及网格尺度估计

由于粘塑性变形的产生，位移与应变能之间的简单关系不复存在，以上基于弹性理论的误差估计方法不能直接使用。笔者建议按以下方法对网格离散误差作出估计，同时也得出网格尺度估计。

设在当前网格（尺度为h）下求解时步自适应弹粘塑性问题，得到{u h}、{εh}、{σh}，其中{u h}由结点位移{δh}e插值而来，即

二、实用网格误差估计及网格尺度估计

由于粘塑性变形的产生，位移与应变能之间的简单关系不复存在，以上基于弹性理论的误差估计方法不能直接使用。笔者建议按以下方法对网格离散误差作出估计，同时也得出网格尺度估计。

设在当前网格（尺度为h）下求解时步自适应弹粘塑性问题，得到{u h}、{εh}、{σh}，其中{u h}由结点位移{δh}e插值而来，即

误差向量仍由式（1-6-3）定义，其中的三种误差有联系，但又无弹性理论中的显式联系公式。为了对误差进行统一度量，代替式（1-6-5），定义误差的能量范数为

误差向量仍由式（1-6-3）定义，其中的三种误差有联系，但又无弹性理论中的显式联系公式。为了对误差进行统一度量，代替式（1-6-5），定义误差的能量范数为

当网格尺度趋于无穷小后，有限单元解便趋于精确解，{eu}、{eε}、{eσ}都趋于零，从而误差范数‖eh‖也趋于零。在整个计算域中，对式（1-6-15）进行积分，若积分仅对某单元i进行，并记为‖eh‖i，则显然有

当网格尺度趋于无穷小后，有限单元解便趋于精确解，{eu}、{eε}、{eσ}都趋于零，从而误差范数‖eh‖也趋于零。在整个计算域中，对式（1-6-15）进行积分，若积分仅对某单元i进行，并记为‖eh‖i，则显然有

式中：N e为单元总数。

为取得无量纲的相对误差度量，定义精确解的总能量范数为

式中：N e为单元总数。

为取得无量纲的相对误差度量，定义精确解的总能量范数为

定义相对误差为

定义相对误差为

则当相对误差等于指定误差et时，即

则当相对误差等于指定误差et时，即

认为网格精度是合理的，反之需要对网格进行修改优化，et由计算对象的重要性确定。

如果要求网格优化后误差‖eh‖均布于各单元中，即

认为网格精度是合理的，反之需要对网格进行修改优化，et由计算对象的重要性确定。

如果要求网格优化后误差‖eh‖均布于各单元中，即

精确解{ε}及{σ}的“最佳猜测”可按各种应力（应变）恢复方法进行估计。

以上内容编入软件模块DENCORE。

精确解{ε}及{σ}的“最佳猜测”可按各种应力（应变）恢复方法进行估计。

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