瞬时频率与时频分析的调频信号描述方法

从数学的观点看，信号的描述方法有多种情况。在函数空间的任何完备正交集上展开信号，就可以获得信号的不同描述方法，而且有无穷多种情况。那么究竟用什么方法描述信号比较合适呢？其关键在于这种描述方法是否能够更好地理解信号的内部特征。时间、频率和幅度是描述信号最基本的自变量，而频率能够不依赖信号的幅值和均值等表象描述信号结构的特征。但是对于非平稳信号，傅里叶定义的频率已不能直观地说明信号的物理含义了，由此，人们对频率的概念进行了新的描述，提出了瞬时频率的概念。

一、用瞬时频率描述调频信号

瞬时频率这个概念起源于通信中的频率调制，是描述非平稳信号的一个重要参数，表示为时变频率在某一时刻的峰值位置，定义为相位的导数，表示为

式（3-8）中，φ（t）为信号相位。由于瞬时频率表示为相位的导数，这就要求所观察的相位必须可导、连续。但自然界中的各种信号，很多都是实信号，如果根据这个定义，实信号的瞬时频率为零，这个结果显然荒谬。1946年，伽波尔（Gabor）提出了从实信号产生相应复信号方法，引入了解析信号概念，即要寻找一个解析信号z（t），使它的实部为要分析的实信号，而虚部则是要选择的，若能确定虚部，就可明确定义信号幅度和相位了。于是，伽波尔以希尔波特（Hilbert）变换为基础，求出了解析信号，再对其相位求导，得出具有频率量纲的参量，即瞬时频率，使瞬时频率的概念得到进一步发展。他定义的解析信号（也称复信号）z（t）为

式中，z（t）是解析信号；s（t）为实信号；H[s（t）]为s（t）的希尔波特变换。

则有解析信号幅度A（t）和相位φ（t）分别为

1948年，威利（Ville）整合了前人的工作，提出了实信号s（t）＝A（t）cos[φ（t）]的瞬时频率定义，形成了传统的解析信号相位求导定义

式（3-12）中，argz（t）为z（t）解析相位函数。这是到目前为止被公认的相对合理的定义。但实际上它并非完全令人满意，因为把实信号s（t）表示成s（t）＝A（t）cos[φ（t）]的形式，即使假设，也有无穷多种表示方法。

可见，给瞬时频率一个确切定义并不是一件容易的事。但是，要想分析非平稳信号，首先就要分析瞬时频率，因而解决瞬时频率的定义问题就显得十分重要。为此，人们也没放弃对它的研究，如时频分析可以间接研究瞬时频率。

二、用时频分析方法分析调频引信信号

人们在研究中发现，通过对时间和频率的联合分析，即时频分析，可以间接达到研究瞬时频率的目的，且研究难度大为降低，因而渐次出现了各种时频分析方法。

较有代表性的时频分析方法，是1932年魏格纳（Wigner）研究量子力学中，提出的二次时频分布，即魏格纳分布（Wigner Distribution，WD），它把时间确定性复值函数信号s（t）在变换中被使用了两次，表示为

图3-4　实函数信号魏格纳分布

式中，*表示共轭。当s（t）通常为实值函数时，魏格纳分布的物理意义就是以某一时刻t为中心，如图3-4所示。把它两边相距τ/2的对称点的值相乘后对τ取傅里叶变换。

后来，威利把魏格纳分布引入到信号分析，用s（t）的解析信号z（t）代替魏格纳分布定义中的实信号，发明了魏格纳-威利分布（Wigner-Ville Distribution，WVD），表示为

这就是时频分析方法，它解决了傅里叶变换分析非平稳信号的局限性，不但可以在时频二维平面上给出信号的时变频谱，还能分析和估计瞬时频率，认为瞬时频率应出现在时频分布的能量峰脊迹线附近。下面就通过魏格纳-威利分布来研究调频信号的瞬时频率。

依据调频概念，幅度为1的线性调频信号的数学模型可表示为

根据瞬时频率定义，求得s（t）的瞬时频率为

式中，k为调频斜率，也称为扫频率，k＝B/T，T为调制周期，B为信号带宽。再根据魏格纳-威利分布定义，计算s（t）的魏格纳-威利分布为

这样，通过式（3-15）可以给出线性调频信号的时域波形，如图3-5所示，通过傅里叶变换，可以给出频域频谱如图3-6所示。通过式（3-17）可以给出线性调频信号瞬时频率如图3-7所示，以及魏格纳-威利分布三维时频分布如图3-8所示。

图3-5　线性调频信号的时域波形

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图3-6　线性调频信号的频域波形

在图3-5中，从时域波形可以确定信号的幅度信息等，但不能确定时刻t的频率信息。

从图3-6频谱图上，可以知道哪些频率存在，及其相对强度，但不能描述这些频率何时存在以及调频信号的调制类型、特点。

而在时频二维魏格纳-威利分布瞬时频率图3-7中，可明显看出在一个调制周期内调频信号的频率与时间成正比，且信号的能量主要集中在瞬时频率fi（t）＝f0＋kt这一斜线上。因此，在时频分布图上不但可以知道信号有哪些频率成分存在，而且还可知道这些频率成分是如何随时间变化的。

图3-7　线性调频信号瞬时频率图

图3-8　线性调频信号WVD时频分布

s（t）的魏格纳-威利分布三维立体图3-8更能反映信号的能量谱随时间变化的情况，从而也说明了时频分析可以更细微地反映信号的本质。

另外，魏格纳-威利分布与瞬时频率的关系十分密切。因为，魏格纳-威利分布能更好地描述时变信号的时变频谱。根据有关文献的推导证明，认为不论具有怎样的幅度和频率调制的单分量信号，魏格纳-威利分布的时间一阶条件矩就是瞬时频率，即

这里，式中的φ（t）表示解析信号相位。可见，魏格纳-威利分布可以很好地说明瞬时频率的概念。同时，瞬时频率反映了时间函数的频域能量集中分布情况，因此，我们可以通过对信号能量的检测，来跟踪、识别目标，也可以通过估计信号的瞬时频率实现对目标的定向、测距等。

综上所述，在分析调频信号过程中，如果引入瞬时频率概念，配合时频分析，将信号从一维时域或频域空间映射到二维时频域空间，描述信号功率谱或能量谱随时间变化的规律，则更能精细、准确地刻画和反映信号的特征和细节，得到信号的二维或三维谱图。从而就能更好地分析调频引信的回波信号特征，通过回波信号的瞬时频率分析调频引信性能，为正确分析引信信号建立基础。

三、用魏格纳-威利分布估计调幅-调频信号的瞬时频率

在实际调频引信中，即便发射信号是理想的等幅调频信号，但是由于信号在传输过程中的衰减以及弹目交会条件下的复杂目标特性的影响等，使得调频信号幅度发生变化，即调频引信实际上是调幅-调频（AM-FM）相伴而生的过程。为此，本节研究具有调幅-调频特征的调频信号瞬时频率问题。

由于不论瞬时频率的变化规律如何，信号的理想时频分布应表现为沿瞬时频率变化规律的曲线上分布。而魏格纳-威利分布具有较好的时频聚集性能，时频能量完全在瞬时频率变化规律的曲线上聚集，因此，可以通过信号的魏格纳-威利分布能量脊峰估计瞬时频率。由此，采用仿真实验方法，针对幅度递增和幅度先递增后递减的调幅-调频信号，用魏格纳-威利分布来分析和估计具有调幅-调频特性的调频信号频谱特征及瞬时频率。

一般地说，除了常数幅度的调幅-调频信号外，调幅-调频信号的幅度还有四种变化趋势，幅度递增、幅度递减、幅度先递增后递减和幅度先递减后递增。考察调频引信的工作情况，我们仅对幅度递增的调幅-调频信号用魏格纳-威利分布估计它的瞬时频率。

为了研究幅度递增的调幅-调频信号，我们假定调幅-调频信号是线性调频的，因此，根据调频概念，可以给出等幅线性调频信号的一般描述，即

实际中，回波信号幅度的递增的趋势，是由电磁波的传播特点决定的，表现为指数递增或递减趋势，因此，幅度递增的调幅-调频信号的数学模型可以表示为

于是，根据魏格纳-威利分布定义有

这样，就可以通过式（3-20）给出幅度递增的调幅-调频信号的时域波形（图3-9），对式（3-20）进行傅里叶变换，可给出它的频谱（图3-10），根据式（3-21）可给出它的魏格纳-威利分布（图3-11）和它的瞬时频率曲线（图3-12）。

图3-9　幅度递增的AM-FM信号时域波形

图3-10　幅度递增的AM-FM信号频谱图

从时域波形图3-9来看，随着时间的增加，调幅-调频信号包络按指数规律逐渐增大。从信号的频谱图3-10来看，可以定性地估计调幅-调频信号存在的频率分量，而且信号的频谱在调制带宽范围内的强度具有明显的幅度包络变化特征。在魏格纳-威利分布时频分布图3-11中，虽然不再是冲激线谱，但是随着时间和频率的增加，魏格纳-威利分布的能量也在增加，在时频中部时能量最大，有最高的时频分辨率。因此，可以估计出信号的瞬时频率，如图3-12所示。

图3-11　幅度递增的AM-FM信号WVD

图3-12　幅度递增的AM-FM信号瞬时频率