电液直列式喷油泵油量控制系统模型分析

1.电液式油量控制执行器模型

电液式油量控制执行器工作原理如图8-1所示，其中包括二位三通常闭式高速电磁开关阀、单作用单活塞杆、弹簧复位式液压缸。在电磁阀未通电时，进油通道关闭，回油通道接通，液压缸活塞在复位弹簧作用下向左移动并带动与液压缸活塞杆相连的喷油泵供油齿杆向减少油量的方向移动。同时，液压缸内活塞左侧的油液经电磁阀回到油箱。当电磁阀通电时，电磁阀换向，液压缸回油箱通道被切断，进油通道接通，高压油液进入液压缸活塞左腔推动活塞和供油齿杆向右移动，使喷油泵供油量增加。采用脉宽调制（PWM）技术控制高速电磁开关阀，在合适调制频率下，调节脉冲的占空比，即可调节进入液压缸的油液的流量，进而实现对齿杆位置的控制，实现对喷油泵供油量的调节与控制。

上述的电液式油量控制执行器中，高速电磁开关阀与单作用单活塞杆、弹簧复位式液压缸组成了一个类似于液压伺服系统中的伺服阀控制液压缸的典型阀控缸式的液压动力元件。分析阀控制液压缸的特性，就先要建立从阀芯的位移到液压缸的活塞位移的数学模型，即传递函数。为此，要建立液压缸的运动方程，导出液压缸运动的流量方程，以及液压缸的力平衡方程。

图8-1 电液式油量控制执行器

1—单作用单活塞杆液压缸 2—二位三通常闭式高速电磁开关阀 3—溢流阀 4—滤油器 P—压力油口 O—回油口

（1）高速电磁开关阀（数字阀）流量方程 根据二位三通高速开关阀的静特性，高速开关阀在一个载波周期内的平均流量q_V为

式中 ω——电磁开关阀阀口的面积梯度；

x_m——阀芯最大开口量；

C_d——流量系数；

p_p-p_L——开关阀阀口前后油液的压力差。

τ——占空比，τ=t_p/T。

但是对二位三通的高速电磁开关阀，τ=t_P/T，在一个T周期内，当时间间隔在t_P内时，电磁阀通电，高压油通过电磁阀进入液压缸。当电磁阀断电后，电磁阀复位，在（T-t_P）时间间隔内，液压缸内的高压油又经电磁阀流回油箱，此时的流量为

所以，在一个周期T内，二位三通高速电磁开关阀的平均负载流量为

因为对高速电磁开关阀（数字式）来讲，其状态只有“开”和“关”两种。因此上式中，x_m，ω都为常数。高速开关阀用PWM控制。实际上控制的是占空比τ，即阀开、关时间的长短，因此这里流量的概念也变化了，不是以前所谓“单位时间”的概念了。

另外，从式（8-3）可知，尽管对高速电磁开关阀来说，C_dωx_m均为常数，ρ、p_P也可以认为是常数，但q_V与p_L显然是非线性关系（尽管q_V与τ是线性关系）。虽然控制理论可以研究分析非线性因素，但线性理论仍旧是最基本的，而且也是最简单最常用的。仿液压伺服阀的线性化方法，可得到高速电磁开关阀即数字阀的线性化流量方程为

q_V=k_qτ-k_cp_L （8-4）

其中——流量增益或流量放大系数，表示负载压力p_L不变时，当τ的变化引起负载流量变化的大小；

——阀的压力流量系数，表示阀的占空比τ不变时负载压力增量与负载流量

之间的关系，也称阀刚度。

（2）液压缸的流量连续方程 从电磁阀进入液压缸的流量Q除了推动活塞运动外，还要补偿缸内的各种泄漏，补偿液体的压缩量和管道等的膨胀量。

泄漏分两部分，一部分是从液压缸的高压腔漏至低压腔内的内漏，其内漏量决定于两腔的压力差p₁-p₂及内泄漏系数c_i。另一部分是从高压腔直接泄漏到外界的外漏，其外漏量的多少决定于高压腔的压力与外界压力（一般取外界压力为零）之间的压力差，以及外泄漏系数c_e。在本系统中，液压缸为单作用单活塞杆液压缸，高压油从活塞高压侧泄漏到低压侧，实际就是外漏，因此，这里只有外漏，无内漏的问题。

液体是可压缩的，随着压力的增加，液体容积就减少。另外，液体中不可避免地混有气体，这些渗入的气体又往往以小气泡或泡沫的形式悬浮于液体中，当液体受压时，气泡体积减小。气体体积变化的程度大于液体，纯油的体积弹性模数约为（1.4～2.0）×10⁹N/m²，油中混有气体后容积弹性模数将大大下降。另外，液压管道等一切液体容器都是弹性体，油压增加，容器变大，当压力提高后就必然有一部分流量是来补偿液体的压缩量及容器的膨胀量。可用液体的体积弹性模数β_e来表示容积中油液的变化率与压力增长量之间的关系，即

式中 Δp——容器中的压力增量；

ΔV——液体容积的变化量（压缩量）；

V——容器中液体的初始容积。

如果用流量来表示容积变化量，即

最后可得液压缸的流量连续方程为

式中 q_V——液压缸的瞬时流量（m³/s）；

A_p——液压缸的活塞面积；

x_p——活塞位移；

V——液压缸工作腔及油管总容积；

c_e——液压缸外泄漏系数；

β_e——液压油体积弹性模数。

（3）力平衡方程 负载压力P_L作用于活塞面积A_p上所产生的液压力与负载诸阻力之和平衡。这些阻力包括运动部件的惯性力、运动件的粘性摩擦力、弹性负载力以及其他负载阻力，可写为

式中 m_t——活塞及由负载折算到活塞上的总质量（包括活塞、齿杆、连接件等）；

B_p——活塞及负载等运动件的粘性摩擦系数；

k——负载运动时的弹性负载刚度；

F_L——作用在活塞上的其他负载阻力。

对式（8-7）、式（8-8）进行拉氏变换，得

由式（8-4），（8-9），（8-10）消去P_L，并经简化得

式中——液压频率，即液压固有频率；

——这里把容积为V的液体封闭后视作弹簧的液压刚度；

——阻尼系数。

其中，输入为τ，输出为X_p的传递函数为

输入为F_L，输出为X_p的传递函数为

式中 k_ce=k_c+c_e

式（8-13）表示了负载阻力F_L变化时，液压缸输出速度的影响。在液压控制系统设计时，由负载变化引起的动态过程一般是不计算的，因为它并不影响系统的固有特性，如稳定性等。

而在式（8-12）中，若没有弹性负载，即k=0，则

这就是典型的阀控双作用液压缸液压动力元件的传递函数，其特征为积分加振荡环节。

但在我们所研究的电液系统中，液压缸为单作用单活塞杆弹簧复位式的液压缸，显然复位弹簧是一个弹性负载，这时，电液执行器即阀控缸的传递函数应该是式（8-12），其特征为一个惯性环节加一个振荡环节。这是0型系统，0型系统往往在稳定性、稳态精度和快速性方面存在矛盾，因此，具有弹性负载的电液控制系统一般都有串联的PID控制器来对控制系统进行校正或补偿。

2.控制器的模型

位置控制器采用PID控制算法，由单片机软件实现，根据齿杆位置命令值X_md与实际值X_mr的差值e计算出控制量Y。其传递函数为

式中 K_p——比例放大系数；

T_i——积分时间常数；

T_d——微分时间常数。

在离散系统中，它的脉冲传递函数为

式中；；；

式中 T_R——采样周期。

PWM过程是把控制器PID输出的控制量转化为驱动高速电磁开关阀所需的脉冲宽度。PWM与高速电磁阀共同构成一个零阶保持器，其传递函数为

3.柴油机的数学模型

根据达朗倍尔原理，柴油机组（包括负载）的运动方程为

或

式中 M_d——柴油机发出的力矩（N·m）；

M_c——阻力矩（N·m）；

J——柴油机及负载变化到曲轴处的转动惯量（kg·m²）；

ω——曲轴角速度（1/s）。

柴油机输出转矩M_d与喷油量Δg有关，而Δg与齿杆位置X_m有关，因此M_d是喷油泵位置的函数，同时M_d还与柴油机的转速有关，因此有

M_d=f（X_m，ω）

将上式展开并线性化

一般情况下，阻力矩M_c与角速度ω及负载特性L有关，即

M_c=f（ω，L） （8-21）

将上式展开并线性化为

将式（8-20）、（8-21）代入式（8-19），得到

或

式中，为柴油机的自稳系数。

因此，式（8-24）又可写为

将上式无因次化，令

其中各系数下标e表示为标定平衡工况参数。

于是上式可成为

上式两边同除以M_de（标定工况时的主动转矩）得

式中 T_d——柴油机的加速时间常数，其物理意义是，柴油机在空载条件下，喷油泵齿条在额定喷油量位置，柴油机角速度由零到达额定值所需时间；

T_g——柴油机与负载联合工作的自稳系数，指设有调速器时，柴油机自动平衡的能力

k_η——发动机特性系数，表示发动机喷油泵齿杆的单位行程引起输出转矩变化的大小；

k_I——阻力矩系数，表示阻力矩变化的大小。

式（8-27）为柴油机的运动方程，由于柴油机的结构和工作过程都相当复杂，除上述因素外，其工作过程还涉及进、排气、冷却、增压等很多环节，而在大多数柴油机工作过程分析中，不可能也没必要使用过于复杂的数学模型。为分析主要因素对柴油机工作过程的影响，还需对式（8-27）进一步简化。

一般来说，柴油机的阻力矩M_c可用下式表示

M_c=Lw^α （8-28）

式中，α的大小取决于负载性质，负载为发电机组时α=1，负载为螺旋桨时α=2，对于车用发动机，当车速不高时，风阻可以忽略时，可取α=1。此时，k_η=1，k_I=1，式（8-27）可简化为

当负载不变化（λ=0）时，式（8-29）为：

上式求拉氏变换

T_dsψ（s）+T_gψ（s）=η（s） （8-31）

所以，柴油机转速对应于喷油泵齿杆位移的传递函数为

上式即为根据达朗倍尔原理推出的柴油机传递函数，它是一个一阶惯性环节。但是内燃机的工作特点是，从喷油泵齿杆位置改变到内燃机发出相应的转矩有一时间滞后过程，这一过程形成一个纯滞后环节。而纯滞后环节的传递函数为

G_τ（s）=e^-τs （8-33）

式中 τ——滞后时间。

所以可将柴油机近似为一个惯性环节串联一个纯滞后环节，则

4.控制策略的选择

对于柴油机油量控制系统，它的基本功能是通过对循环喷油量的控制达到对柴油机转速的控制。因此其控制算法为转速、齿杆双闭环控制。这种控制算法的控制原理是：以齿杆和转速控制的2个闭环回路为基础，内环以齿杆为控制目标，控制器采用PID控制器进行调节，实现对柴油机喷油量的控制；外环以柴油机转速为控制目标，控制器采用PI控制器进行调节，实现对发动机转速的调节。

最后可得：电控柴油机调速系统的动态模型如图8-2所示，其中K_f为位移传感器的传递函数，可认为是一个比例环节，用k_f1表示；而转速传感器也可看成是一个比例环节，因此用k_f2表示，V_p是油门踏板位置信号；M_c是外界干扰信号。

5.PID控制算法的实现^[2]

（1）PID控制算法基础 按偏差的比例、积分和微分进行控制的控制器，即为PID控制器，是连续系统中技术成熟、应用最为广泛的一种基本控制器。它的结构简单，参数易于调整，在长期应用中已积累了丰富的经验。特别是在工业控制中，由于被控对象的精确数学模型难以建立，系统的参数经常发生变化，运用控制理论分析综合要耗费很大的代价却不能得到预期效果。所以人们往往采用PID控制器，根据经验进行在线整定，以便得到满意的控制效果。随着计算机，特别是微型计算机技术的发展，PID控制算法已能用微型计算机简单地实现。加上软件系统的灵活性，PID算法可以得到修正而更加完善。因此，目前工业过程所采用的许多直接数字控制系统中，普遍采用将模拟PID控制规律以微型计算机实现的模拟化设计法，即数字PID算法。下面在介绍数字PID算法之前，先介绍一下PID，即比例（P）、积分（I）、微分（D）控制作用的概念。

图8-2 电控柴油机调速系统的动态模型图

1）PID控制器的原理与概念。PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值r（t）与实际输出值c（t）构成控制偏差

e（t）=r（t）-c（t）

将偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器。其控制规律为

式中 y（t）——控制器输出信号；

e（t）——控制器输入偏差；

K_C——比例常数；

T_i——积分时间常数；

T_d——微分时间常数。

其传递函数为

为了更好地理解PID控制器的原理，先分析P、I、D控制作用对控制质量的影响。

①比例控制作用对控制质量的影响。为了具体说明比例控制作用对控制质量的影响，现以图8-3的系统为例进行讨论：

图8-3中K_C表示比例控制器的比例系数，设K=K_vK₁K₂，系统在干扰D（s）作用下的传递函数为

图8-3 比例控制系统

若d为阶跃干扰，幅值为A，则式（8-37）可写成

系统的特征方程为

T₁T₂s²+（T₁+T₂）s+（1+KK_C）=0 （8-38）

解上式可得特征方程的根s₁、s₂

在式（8-39）中，随着（T₁-T₂）2-4T₁T₂K_CK的取值不同（大于零、或小于零、或等于零）。其特征根的性质也不同。由于这里只是讨论控制器放大系数K_C大小对控制品质的影响，因此，式（5-39）中的T₁，T₂，K等参数均可认为是定值。下面分三种情况进行讨论。

a）当（T₁-T₂）2-4T₁T₂K_CK>0时，在K_C很小时，必有（T₁-T₂）2-4T₁T₂K_CK>0成立。特征根s₁，s₂均为负实根。由自动控制原理可知，这时控制系统的过渡过程将是不振荡的。

b）当（T₁-T₂）2-4T₁T₂K_CK=0时，只有K_C在前一种情况下逐渐增大到某一值时，上式才成立。特征根s₁，s₂则为两个相等的实根，控制系统的过渡过程将处于振荡与不振荡的临界状态。

c）当（T₁-T₂）2-4T₁T₂K_CK<0时，只有K_C在第二种情况的基础上继续增大到某一值时，这一关系才成立。特征根s₁，s₂为一对共轭复根，控制系统的过渡过程处于振荡状态，并且随着K_C的再增大，振荡将进一步加剧。

从上面分析可知，随着控制器放大系数K_C的增大，控制系统的稳定性降低。如果从控制系统的阻尼系数ζ_P进行分析，也可以得到同样的结论。将系统的特征方程式（8-38）改写成：

s²+2ζ_pω₀s+ω²₀=0

式中；

。

即

由式（8-40）可见，当K_C较小时，ζ_P值较大，并有可能大于1。这时过渡过程为不振荡过程，随着K_C的增加，ζ_P值将逐渐减小，直到小于1。相应的过渡过程将由不振荡过程而变为不振荡与振荡的临界情况，并随K_C的继续增大，ζ_P继续减小。过渡过程的振荡加剧。但是，不论K_C值增大到多大，ζ_P不可能小于零，因而这个系统不可能出现发散振荡，即该系统总是稳定的，因为这个系统是稳定的，因而可应用拉普拉斯变换的终点定理求得在幅值为A的阶跃干扰作用下，系统的稳态值（静差）为

式（8-41）表明，应用比例控制器构成的系统，其控制结果的稳态值不为零，即系统存在静差。随着控制器放大系数K_C的增大，静差将减小，但不能完全消除。因此，比例控制只能起到“粗调”作用。

②积分控制作用对控制质量的影响。以图8-4所示的系统为例，讨论积分控制作用对控制质量的影响。

图8-4 比例积分控制系统

系统在阶跃干扰D（s）的作用下，闭环控制系统的传递函数为

假定阶跃干扰的幅值为A，则有

对式（8-43）应用终值定理，可求得在幅值为A的阶跃干扰作用下的系统的稳态值

即该系统的静差为零，积分控制作用能消除静差，这是它独有的特色。

积分控制作用对系统稳定性的影响，仍从闭环传递函数特征方程根的性质进行讨论。当然，从系统的阻尼系数进行讨论，其结论也是相同的。

由式（8-42）的特征方程为

T_is（Ts+1）+KK_C（T_is+1）=0(www.xing528.com)

即

TT_is²+（KK_C+1）T_is+KK_C=0 （8-45）

同样，特征根的性质可由T²_i（KK_C+1）2-4TT_iKK_C的情况来判别。由于此处只讨论积分控制作用对控制质量的影响，即积分时间T_i变化对控制质量的影响，因而可假定T、K_C、K等参数保持不变，仍有三种可能情况：

a）当T²_i（KK_C+1）2-4TT_iKK_C>0时，上式经移项化简可改写为

式（8-46）关系要成立，T_i必定较大。这时特征根s₁，s₂均为负实根。所以，控制系统的过渡过程为非振荡的。

b）当T²_i（KK_c+1）²-4TT_iKK_C=0，也就是

（KK_C+1）2=4TKK_C/T_i

要使这个关系成立，T_i一定比第一种情况时的值要小，此时特征根s₁，s₂，为两个相等的实根，因此，控制系统的过渡过程处于振荡与非振荡的临界状态。

c）当T²_i（KK_C+1）2-4TT_iKK_C<0时，也就是

（KK_C+1）2<4TKK_C/T_i

同样，要使这一关系成立，此时的T_i值一定比第二种情况时的T_i要小。此时特征根s₁，s₂，为一对共轭复根，控制系统的过渡过程处于振荡状态，并且，随着T_i的进一步减小，振荡加剧。

由上述分析可知，积分控制作用能消除余差（静差），但降低了系统的稳定性，特别是当T_i比较小时，稳定性下降比较严重。因此，控制器在参数整定时，如欲得到纯比例作用时相同的稳定性，当引入积分作用之后，应当把K_C、适当减小，以补偿积分作用造成的稳定性下降。

③微分控制作用对控制质量的影响。在图8-3的比例作用的控制系统中，控制器再加入微分控制作用之后，系统在干扰作用下的闭环传递函数为

该系统的特征方程为

T₁T₂s²+（T₁+T₂+KK_CT_d）s+（1+KK_C）=0 （8-48）

或

s²+2ζ_dω₀s+ω²₀=0

式中

因此，系统的阻尼系数为

比较式（8-40）与式（8-49）可以看出，两式的分母相同，仅式（8-49）的分子较式（8-40）多了一项K_CKT_d，在我们讨论的稳定系统中，其K_C、K、T_d都为正值，故当K_C相同时，ζ_d>ζ_p，并且T_d越大，ζ_d也越大。ζ值的增加将使系统过渡过程的振荡程度降低。因而，在纯比例作用的基础上，增加微分作用提高了系统的稳定性，超调量也减少了。此时，为了维持原有的递减比，即与纯比例作用具有相同的阻尼系数，需将放大系数K_C适当增加，由此引起的稳定性下降由微分作用使稳定性提高来补偿。

设系统在幅值为A的阶跃干扰作用下，由式（8-47）应用终值定理可求得过渡过程的稳态值为

由此可见，微分作用不能消除静差，但如上所述，由于这时的K_C值较纯比例作用时的K_C为大，所以静差比纯比例作用时小。

由于微分作用是按偏差的变化率来工作的，因而对于克服控制对象容量滞后的影响有明显的作用，但对纯滞后则无能为力。

综上所述，控制系统引入微分作用之后，将全面提高控制质量。也应指出，如果控制器的微分时间T_d整定得太大，这时即使偏差变化的速度不是很大，因微分作用太强而使控制器的输出发生很大变化，严重影响控制质量的系统安全。

2）PID控制。同时引入比例、积分和微分作用的调节器（PID控制器），是为了即能改善系统的动态特性，又能改善系统的静态性能，即使系统的稳态误差或静差（余差）消除。

其传递函数为

其频率特性为

PID控制器比较完善，把三种调节规律的优点都集中起来，克服各自存在的缺点。调节器有三个整定参数，根据对象的特性，适当选择K_C，T_i，T_d，可做到使静差为零，而使阻尼系数ζ较大，使得振荡减缓，动态偏差较小。这就是自动控制系统较广泛应用PID控制的原因。

为了便于比较和看出各种调节规律的控制效果，对同一对象用了不同的调节规律，可以整定成有同样衰减特性的过渡过程，以便比较和选择调节规律。

例如图8-5所示的调节系统，对象是二阶惯性环节，D是主要扰动，则被调量Y对于干扰D的闭环传递函数为

图8-5 同一对象采用不同控制器系统的方框图

其中 T₁=20s。

对这个系统选用不同调节规律的控制器，借变更控制器的参数，使调节的过渡过程接近最佳。这里都选取衰减率Ψ=0.9。在阶跃干扰的作用下，求出各个过渡过程，如图8-6所示。其中PD调节动态偏差最小，这是由于有了微分作用，可使比例放大系数增大，调节时间大大缩短。但因无积分作用，所以仍有静差，只是比例系数增大，静差只有比例调节的一半左右。对于PID控制，动态最大偏差比PD控制稍差，由于有积分作用，静差为零。但由于引入积分作用，使振荡周期增长了。再相互比较其他几条曲线，可以看出，微分作用减少超调量和过渡过程时间，积分作用的特点是消除静差，但使超调量和过渡过程时间增大。

图8-6 在阶跃干扰作用下，各种调节的过渡过程比较

（2）数字PID算法的实现 理想的模拟控制器的PID算式为

由离散化方法可知，描述连续系统的微分方程应由相应的描述离散系统的差分方程来代替。将式（8-53）中的积分项和微分项用求和及增量之比来近似表示，则离散型系统PID算式为

式中 e（k）——第k次采样所获得的偏差信号；

Δe（k）——为本次和上次测量值偏差的差；

T——采样周期。

在给定值不变时，Δe（k）可表示为相邻两次测量值之差

Δe（k）=e（k）-e（k-1）=[R-y（k）]-[R-y（k-1）]=y（k-1）-y（k） （8-55）

式中 R——给定值；

k——采样序号，k=1，2，3，…

式（8-54）称为位置式PID控制算法。计算机按该式算出的是控制全量，也即对应于执行机构，每次所达到的位置（如阀开度）。这种算法当前一次的输出与过去的状态有关，计算时要对e（i）进行累加，而且当计算机发生任何故障时，会造成输出量的变化，从而大幅度地改变执行机构的位置。这对安全带来严重后果，故目前数字控制的PID算式常做如下的变化。

考虑到第k-1次采样有

利用式（8-54）、式（8-56）计算两次采样时输出量之差为

因为Δe_k=e_k-e_k-1，Δe_k-1=e_k-1-e_k-2，所以

式中——为积分常数；

——为微分常数。

因为一般计算机控制系统采用恒定的采样周期T，故在确定了K_C、K_i、K_d时，根据前后三次测量值偏差，即可由式（8-57）求出控制增量。由于它的控制输出对应每次执行机构位置的增量，故称为PID控制的增量式算式。

实际上，位置式与增量式控制对整个闭环系统并无本质区别，只是将原来全部由计算机承担的算式分出一部分由其他部件去完成，例如用步进电动机作为系统的输出控制部件时，就能起此作用。它作为一个积分元件，并兼做输出保持器，对计算机的输出增量Δy进行累加，实现了y=∫Δy的作用。与位置式控制相比，增量式控制器需附加积分环节，但它有以下一些优点。

1）由于计算机每次只输出控制增量，故机器故障的影响范围小。

2）控制从手动到自动切换时，由于算式中不含y_k项，因此冲击小。此外，当计算机发生故障时，由于执行装置本身有锁存作用，故仍保持原值。

3）算式中无须累加，增量只与最近几次采样有关，容易获得较好的控制效果。

因此，在实际控制时，增量式算式要比位置式算式应用更为广泛。

从上述控制算式还可看到，控制作用中比例、积分、微分都是独立而且互不相关的，因此比较直观，易于操作人员理解和分别检查各个参数变化所引起的控制效果。但有些场合为了使控制算式更加简单，从形式上作了较大的变化，脱离了传统的PID概念，根据式（8-57），将其中同类型合并可得

Δy_k=K_c（d₀e_k+d₁e_k-1+d₂e_k-2）=Ae_k+Be_k-1+Ce_k-2 （8-58）

式中 A=K_cd₀

d₀=1+T/T_i+T_d/T

B=K_Cd1

d₁=-（1+2T_d/T）

C=K_Cd₂

d₂=T_d/T_i

可见上述算式比原先的算式计算简单，A，B，C三参数可独立地进行选择，但从形式上已看不出比例、积分、微分作用的直接关系。从表面算式上看，它只反映多次偏差对控制作用所起的影响。

（3）PID控制器的参数整定 控制系统的控制质量与被控对象的特性，控制信号、干扰信号的形式和幅值，控制方案及控制器的参数等因素有着密切的联系。对象的特征、控制信号和干扰情况是被控对象的特性限制的，不可能任意改变。这样，控制方案一经确定，对象各通道的特性就成定局。这时控制系统的控制质量就只取决于控制器的参数了。所谓控制器的参数整定，就是确定最佳过渡过程中控制器的比例系数K_C、积分时间T_i常数和微分时间T_d常数的具体数值。

而所谓最佳过渡过程，就是在某种质量指标下，例如误差积分面积最小，系统达到最佳调整状态。此时的控制器参数就是所谓的最佳整定参数。对于大多数过程控制系统，当递减比为4∶1时，过渡过程稍带振荡，不仅具有适当的稳定性、快速性，而且又便于操作管理。因此，目前习惯上把满足这一递减比过程的控制器参数也称为最佳参数。

整定控制器的参数使系统达到最佳调整状态是有前提条件的，这就是系统结构必须合理，传感器、执行器选择正确，安装无误和调校正确。否则，无论怎样去调整控制器的参数，是仍然达不到预定的控制质量要求的。这是因为控制器的参数只能在一定范围内起作用，参数整定仅仅是控制系统投入运行中的一个重要环节。

PID控制器参数整定的方法很多，但可归结为理论计算法和工程整定法两种。理论计算法有对数频率特性法、扩充频率特性法、M圆法、根轨迹等等；工程整定法有经验法、临界比例度法、衰减曲线法和响应特性法。理论计算法要求获得对象的特性参数，由于工业对象的特性往往比较复杂，其理论推导和实验都比较困难。有的不能得到完全符合实际对象特性的资料；有的方法繁杂，计算麻烦；有的采用近似方法而忽略了一些因素。因此，最后所得数据可靠性不高，还需拿到现场去修正，因而工程上采用较少。

工程整定方法就是避开对象特性曲线和数学描述，直接在控制系统中进行现场整定，其方法简单，计算方便，容易掌握。当然这是一种近似的方法，所得的控制器参数不一定是最佳参数，但相当适用，可以解决一般实际问题。

1）参数整定的理论基础。首先，来讨论一个控制系统的过渡过程和稳定性及其特征方程的关系。

图8-7所示的闭环系统中，在干扰的作用下，闭环控制系统的传递函数为

这里闭环控制系统的特征方程为

1+W_c（s）W_o（s）=0

其一般形式为

a_nsⁿ+a_n-1s^n-1+……+a₁s+a₀=0

图8-7 单回路控制系统方框图

式中各系数由被控对象、执行器、传感器的特性和控制器的整定参数所确定，控制方案一经确定，被控对象、执行器和传感器的特性就确定了，所以各系数只随控制器的整定参数而变化。特征方程根的值也随控制器的整定参数而变化。因此，控制器参数整定的实质就是选择合适的控制器参数，用控制器的特性去校正对象的特性，使其整个闭环控制系统的特征方程式的每一个根都能满足稳定性要求。

根据自动控制原理，系统的自由运动分量与特征方程式根的关系如表8-1所示。从表可

表8-1 运动分量与特征方程根的关系

知，如果特征方程有一个实根s=α，其通解Ae^-αt所代表的运动分量是非周期性变化过程。当α为负数，则运动幅值将越来越小，最后衰减为零；α为正数，运动幅值将越来越大，如果特征方程式有一对复根s=α±jω，则通解Ae^αtcos（ωt+φ）所代表的运动分量是一个振荡过程。当α＞0呈发散振荡，系统不稳定，当α<0，呈衰减振荡，系统是稳定的。当α=0，振荡既不衰减，也不发散，为等幅振荡。

对于稳定的振荡分量

y（t）=Ae^-αtcos（ωt+φ）

式中 α＞0，其递减率Ψ与比值α/ω的大小有一定关系。

假定振荡分量在t=t₀瞬间达到它的第一个峰值y_im，那么，经过一个振荡周期T以后，即在t=t₀+2π/ω瞬间又要达到一个峰值y_3m。如图8-8所示。

由递减率的定义可得

式中 m——递减指数，为复根的实部α和虚部ω之比，它与递减率Ψ有一一对应关系。

ψ与m的关系如表8-2所示。

图8-8 振荡分量的递减率

表8-2 Ψ与m的关系（Ψ=1-e^-2Πm）

由于特征方程式根的个数与微分方程的阶数相同，因此就有与阶数相同数目的运动分量。从自动控制系统来看，只要其中有一个不稳定的运动分量，那么整个系统就要变成不稳定的了。这样，控制器参数整定的目的就是选择合适的参数值，使特征方程所有实根及所有复根的实部α都为负值，从而保证整个控制系统是稳定的。

控制系统的控制质量同特征方程的根有着内在的联系。控制质量可归结为稳定性、快速性和准确性三个方面的要求。这些质量要求实质上就是要求控制系统特征方程的根分布在复数平面虚轴左侧的某一范围之内，即在图8-9的阴影区域内。

从稳定性看，控制系统不仅要稳定，而且要有一定的稳定裕量，稳定裕量可以用相角裕度γ、阻尼系数ζ、递减率Ψ和递减指数m的大小来描述，因为它们都能表征过渡过程的衰减程度。对于二阶系统，它们之间都有一一对应的关系。在自动控制原理中经推证，有如下结论：

相角裕度

阻尼系数

递减率

递减指数

因而，当Ψ=75%～90%时，γ=22.4°～31.1°，ζ=0.216～0.344，m=0.221～0.366。在特征方程根平面上，m=α/ω，图8-9的折线AOB与虚轴间的夹角为β₀，因而，m=α/ω=tanβ₁，β=β₀=常数，它对应于复根的m=m_o=常数，或对应的递减率Ψ=Ψ₀=常数。这就是说，凡是位于该折线左面的任何一对共轭复根所代表的振荡过程都具有比Ψ₀大的递减率。因此，在整定控制器参数时，要保证过渡过程具有一定的稳定裕量，也就是使闭环控制系统特征方程式的根位于AOB折线左侧。利用衰减频率特性来整定控制器的参数，就是根据给定的衰减指数而进行的。

图8-9 根平面中质量合格区域

从快速性看，一对共轭复根所代表的振荡分量的衰减速度取决于复根的实部α，α越大，则e^-αt衰减越快。所以当α相同时，衰减速度也是相同的。也就是被控制量达到稳定状态所需过渡过程时间相同。如图8-9中，和虚轴平行的垂线CD就代表相同的α=α_o值，因此，要保证控制系统具有一定的快速性，就是通过对控制器的参数整定，使闭环控制系统特征方程式的根位于CD线左侧。可以证明，过渡过程时间t_s≈3/α。

在实际运行中，过渡过程的振荡频率不宜过高。因为过渡过程的振荡频率过高，势必使执行器的动作过于频繁，加大执行器及被控对象的磨损。同时，被控量的变化也过于频繁，不利于运行的正常进行。所以对过渡过程的振荡率应加以限制。一对共轭复根所代表的振荡分量的振荡频率就是复根的虚部ω。在图8-9中的水平线EF和HG就代表了频率相同的振荡分量。在此，两直线之间的部分，其振荡频率小于规定值。

从准确性看，最大偏差与干扰的幅度及衰减指数m有关。因此，对递减率的要求不仅要考虑稳定裕量，还应兼顾最大偏差的要求。对稳态值，由于它是一个静态特性，它与过渡过程没有显著的关系，因而不能从反应动态特性的特征根平面上有效地反映出来。

综上所述，要保证控制系统的控制质量，必须进行控制器的参数整定，用控制器的特性去校正对象特性，使整个闭环控制系统特征方程式的根全部落入图8-9阴影部分之内。控制器参数整定的方法虽然很多，但是，从根本上讲，都是从满足指定的稳定裕量要求出发的。

2）经验凑试法。由于上述电液式位置控制系统数字PID的采样周期相对于系统的时间参数很短，可按模拟PID调节器的设计方法选择参数。PID参数整定法如前述，有理论法和工程法两种。理论法一般采用计算机通过模型仿真进行PID参数优化。但这种方法需要具体计算各个环节的传递函数，知道系统的准确模型才能奏效。这在工业过程中一般比较困难。由于柴油机电控系统为非线性、时变、大滞后系统，难以建立其数字模型。因此常选择工程整定法。

PID工程参数整定包括凑试法和实验经验法（如阶跃曲线法、临界比例法）。采用凑试法，就是闭环调试观察系统的阶跃响应曲线，根据各个参数对系统响应的大致影响，反复凑试参数，以达到系统最优。调试中采用先比例、后积分、再微分的反复调整，具体步骤如下。

①整定比例部分：首先置积分和微分系数为零，使之成为比例调节器，再将比例系数由小变大，观察相应的响应，使系统的过渡过程达到4∶1衰减的响应振荡和较小的静差。如果系统的静差已经小到允许的范围，并且已经达到4∶1衰减的响应曲线，那么只需比例控制器即可。最优比例度由此确定。

②加入积分环节：理论上如果只用比例控制，系统的静态误差不能满足要求，则需加入积分环节。整定时，现将比例系数减少10%～20%，以补偿因为加入积分作用而引起的系统稳定性下降，然后由小到大调节积分参数。在保持系统良好动态性能的情况下，消除静差，这一步可以反复进行，以期得到满意的效果。

③加入微分调节：经过上面两步的调整后，若系统的动态过程不能令人满意，可以加入微分环节构成PID控制器。在整定时，先置微分系数为零，然后逐步增大微分系数，同时相应的改变比例系数和微分系数，逐步试凑以获得满意的控制效果和控制参数。

在PID控制中，K_c、T_i、T_d三种控制相互影响，调试过程是三者相互折中协调。由于三者之间的制约，使得调试工作量大，系统控制也很难达到最优。

（4）提高PID控制效果的措施

1）抗失效措施。在实际控制系统中，控制变量因受到执行元件的机械和物理性能的约束而限制在有限范围内，即

y_min≤y≤y_max

其变化率也局限在一定范围内，即

如果由计算机给出的控制量y在上述范围内，那么控制可以按预期的效果进行，一旦超出上述范围，例如进入执行元件的饱和区，那么实际执行的控制就不再是计算值。由此而产生“失控”。发生失控现象后，往往引起被控量的严重超调合振荡，或是因控制作用的不及时而大大降低了控制效果。

“失控”有所谓比例失控、积分失控和微分失控之分。一般来说，失控的形式取决于算法的形式。采用PID位置算法时，容易出现积分失控，采用PID增量算法时，容易出现比例失控和微分失控。

①PID位置算法的积分失控及其抑制。在采用位置算法的情况下，若设定值发生突变或被控量有很大波动，且根据PID位置算法公式算出的控制量超出了限制范围，例如y>y_max，那么实际上控制量只能取上界值y_max而不是计算值。由于控制量受到限制，偏差e将比正常情况下持续更长时间，而使式（8-54）中的积分项进行不适当的积累。这种积分项的不适当的积累，就会使系统输出出现大幅度超调合长时间的振荡。所以积分失控主要是由积分项引起的。为了抑制积分失控，在文献资料中已提出许多有效的修正算法。其中常用的有：积分分离法、有效偏差法等，可参阅相关的资料。

②PID增量算法的失效及其抑制。在PID增量算法中，由于不出现累加和式，由此不会发生位置算法那样的积累效应。这样就直接避免了导致大幅度超调和长时间振荡的积分失控。但是，在增量算法中，却有可能出现比例及微分失控现象。下面简要地说明这类失控对控制的影响及其抑制方法。

在增量算法中，特别在设定值发生跃变时，由算法的比例部分和微分部分计算出的控制增量可能比较大（一般情况下T/T_i的值要小得多，积分部分的值相对比较小）。如果该值超过了执行元件所允许的最大限度，那么实际上实现的控制增量将是受限制的值。计算值的多余信息没有执行就遗失了，即产生了比例和微分失控。与没有限制时相比较，由于比例和微分失控，使得系统的过渡过程减慢。

纠正比例和微分饱和的办法之一是所谓的“积累补偿法”，其基本思想是将那些因饱和而未能执行的增量信息积累起来，一旦可能时，再补充执行。这样，信息就没有遗失，动态过程也得到了加速，这类算法的原理见图8-10。

很清楚，如果计算出来的Δy（k）越界，那么，多余的未执行的控制增量将存储在累加器中，一旦控制量脱离饱和区，累加器中的量将全部或部分的加到计算出的控制增量上，以补充由于限制而未能执行的控制。

使用“积累补偿法”，虽然可以抑制比例和微分饱和，但由于引入的累加器具有积分作用，使得增量法中可能出现积分饱和现象，为了抑制它，在每次计算积分项时应判断其符号是否将继续增大累加器的积累，如果增大，则将积分项略去。这样，可以使累加器的数值积累不致过大，从而避免了积分饱和现象。

2）干扰的抑制。PID控制算法的输入量是偏差e，也就是设定值r与系统输出y的差。在进入正常控制后，由于y已接近r，e的值也不会太大。所以相对而言，干扰值对控制有较大的影响，为了削弱或消除随机干扰的影响，除了从根本上（即系统硬件及环境方面）采取措施外，通常采用数字滤波的方法抑制干扰的影响。所谓数字滤波，实质上是一种程序滤波，即通过一定的计算程序减少干扰在有用信号中的比例。这种滤波方法不需要增加硬件设备，只需在程序上作相应的考虑即可。数字滤波由于稳定性高，各回路之间不存在阻抗匹配问题，易于各路应用，所以应用极广。

图8-10 用积累补偿法纠正比例及微分饱和

对于作用时间较为短暂的快速干扰，例如采样器，A/D转换器的偶然出错等，我们可以简单地连续多次采样求平均值的办法予以滤波。例如在第k次采样时刻连续采样N次，可得e₁（k），e₂（k）…e_N（k），由于快速干扰往往比较强烈，只要有一个采样数据受到随机快速干扰，即使对它们求平均值，干扰的影响也将明显地反映出来，因此应用计算机剔除其中的最大、最小值，即对剩余的N-2次采样值求平均值。由于在N次中连续N次偶然出错的可能性不大，故这样做足以消除这类快速随机干扰的影响。

为了抑制现场输入线路带来的多次干扰及测量变速器存在的交流噪声，在模拟量输入通道中通常采用一阶（惯性）递推滤波方法。所谓一阶递推滤波方法，就是一种以数字形式实现RC低通滤波器的动态滤波方法，在滤波常数要求大的场合，这种方法非常适应。

RC低通滤波器的传递函数为

式中 X（s）——滤波器输入的拉氏变换；

Y（s）——滤波器输出的拉氏变换；

T_f——滤波器的时间常数，T_f=RC。

将上式离散化后可得

y（k）=（1-a）y（k-1）+ax（k）

式中；

T——采样周期；

y（k-1）——第k-1次采样后滤波器的输出。

从物理意义上讲，采样周期T远小于T_f，因而可取a≈T/T_f。a由实验确定，只要使被检测的信号不产生明显的波纹即可。

为了减少扰动对偏差的影响，通常亦采用一阶递推滤波方法按下式对偏差进行修正

e（k）=（1-a）e（k-1）+ae′（k） （0<a<1）

式中 e′（k）——第k次采样时滤波器的输入；

e（k）——第k次采样时滤波器的输出。

在实际中，常把一阶递推滤波器1/（T_fs+1）预先归入到PID算法中，构成所谓实际的PID算法。显然，用一阶递推滤波的方法对偏差进行修正将同时会影响到PID算法中的全部项。

除了采用一阶递推滤波方法外，还可用单独修改微分项的办法来抑制干扰。这是因为数字PID控制式是对模拟PID控制式的近似，其中用和式代替了积分项，用差分项代替了微分项。在各项中，差分（特别是二阶差分）对数据误差和噪声特别敏感，一旦出现干扰，由差分项的计算结果有可能出现不期望的大的控制量变化。因此，在数字PID算法中，干扰通过微分项对控制的影响是主要的。由于微分成分在控制算法中往往是必要的（它可近似地补偿被控对象的一个极点，扩大稳定域，改善动态特性），因此不能简单地将微分部分弃去，所以应研究如何实现对干扰不过于敏感的微分项的近似算法。下面介绍常用的四点中心差分法（图8-11）。

图8-11 四点中心差分法构成偏差平均值

在这种修正方法中，一方面将T_d/T选择得比理想情况下稍小一点，另一方面在组成差分时，不是直接应用现时偏差，而是用过去和现在四个采样时刻的偏差的平均值作为基准，即

然后再通过加权求和的形式近似构成微分项，即

整理后得

用上式代替PID位置算法中的微分项，就得到修正的PID位置算法，即

同样的，用相应于式（8-60）的式子代替PID增量算法中的差分项及二阶差分项，就可得到修正后的PID增量算法，即