回转体与相贯线：解析与探讨

【任务描述】

画出回转体与回转体的相贯线，如图2-22所示。

图 2-22 回转体与回转体的相贯线

【任务分析】学习基本体相贯线的画法。

【知识准备】

1.相贯线的概念

两立体相交（两平面立体相交、平面立体与曲面立体相交、两曲面立体相交），在其表面产生的交线称为相贯线。此外只讨论曲面立体中常见的回转体表面相交时求其相贯线的问题，即圆柱与圆锥的相贯问题。

2.相贯线的性质

图2-23为轴线正交的两圆柱表面的相贯线的情况。

相贯线具有以下基本性质：

（1）相贯线是相贯两立体表面的共有线，是两立体表面上一系列共有点的集合；

（2）相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下可能是平面曲线或直线。

图2-23　两圆柱相贯

（a）圆柱相贯轴的轴测图（b）助平面法求相贯线的轴测图

3.求相贯线的基本方法

求相贯线的实质是找出相贯两立体表面上的若干共有点。通常采用 “辅助平面法”。辅助平面与两立体表面相交所得的交点，即为相贯线上的点。

作图前应根据两立体的相交情况分析相贯线的大致伸展趋势，再依次求出特殊位置点和一般位置点，判别可见性，最后将求出的各点光滑地连接成曲线。为使作图简便，所选辅助面与两立体截交线的投影应为简单易画的图线--直线或圆。通常选投影面的平行面作为辅助平面，如图2-23（b）所示。

4.绘制圆柱与圆柱相贯线的一般步骤

如图2-24（a）为两圆柱的相贯线。

（1）分析相贯两立体的几何性质、相对位置和投影特性 图2-24（a）表达的是两圆柱垂直相贯，直立圆柱的轴线垂直于水平面，柱面的水平面投影积聚为圆。水平圆柱的轴线垂直于侧面，其侧面投影积聚为圆。利用相贯线是两圆柱面上的共有线的性质，相贯线的水平面投影和侧面投影分别与上述两圆重合，无需再求，故只需求出它的正面投影。

（2）找特殊位置点 相贯线上的特殊位置点通常位于极限位置素线上。图中，直立圆柱最左素线与水平圆柱的交点A、C，分别是最高、最低点，A、C的正面投影a′、c′可从图中直接判断得出。水平圆柱最前（最后）素线与直立圆柱的交点b（d）是最前（最后）点。B（或D）的正面投影b′（d′）可根据水平面投影b（或d）求得。找出了特殊位置点的投影，即可确定相贯线的大致范围。如图2-24（b）。(www.xing528.com)

（3）求一般位置点 根据辅助平面的选择原则，图中选用水平面P1及P2作为辅助面，求出相贯线上的若干点，如图2-24（c）中的侧面投影e″、f ″、g″、h″，这些点在垂直于水平面的圆柱表面上，水平面投影积聚成圆，故这些点一定在这个圆上。通过水平面e、f、g、h，由侧面、水平面，很容易求出正面投影e′、f ′、g′、h′。辅助面的数量根据需要而定，辅助面数量越多，则所求的一般位置点的数量就越多，连点成曲线时就方便些。也可选用水平面或侧平面作为辅助面，请自行作图分析。

（4）连点成线将各点顺次光滑地连接起来，即得相贯线的投影，如图2-24（d）。该相贯体前、后对称，因此相贯线前（可见）、后（不可见）部分的正面投影重合。

图2-24　两圆柱垂直相贯线的画法

5.绘制圆柱与圆锥相贯线的一般步骤，如图2-25为圆柱与圆锥的相贯

图2-25　圆柱与圆锥相贯线的画法

（1）分析相贯两立体的几何性质、相对位置和投影特性 图2-25（a）表达的是圆柱与圆锥垂直相贯，圆锥的轴线垂直于水平面，锥底面的水平面投影积聚为圆。水平圆柱的轴线垂直于侧面，其侧面投影积聚为圆。利用相贯线是圆柱与圆锥面上的共有线的性质，相贯线的侧面投影与左视图的圆重合，无需再求，故只需求出它的正面投影与水平投影。

（2）找特殊位置点 相贯线上的特殊位置点通常位于极限位置素线上。图中，圆柱最高最低两素线与圆锥的交点分别是最高点Ⅲ、最低点Ⅰ，其的正面投影3′、1′可从图中直接判断得出。圆柱最前与最后素线与圆锥的交点分别是最前点Ⅳ和最后点Ⅱ。它们的正面投影4′、2′在圆柱的轴线上，在此面上做辅助水平平面即可求得其他面投影。找出了特殊位置点的投影，即可确定相贯线的大致范围。如图2-25（b）。

（3）求一般位置点 根据辅助平面的选择原则，图中选用两个水平面作为辅助面，求出相贯线上的若干点，却Ⅴ、Ⅶ、Ⅷ点，如图2-25（c）中的侧面投影5″、6″、7″、8″，这些点在属于圆锥表面，其所在的圆的水平面投影积为圆，故这些点一定在这个圆上。按宽相等可分别得到水平投影的5、6、7、8点，由侧面、水平面，很容易求出正面投影5′、6′、7′、8′。辅助面的数量根据需要而定，辅助面数量越多，则所求的一般位置点的数量就越多，连点成曲线时就方便些。

（4）连点成线将各点顺次光滑地连接起来，即得相贯线的投影，如图2-25（d）。该相贯体为圆柱与圆锥的相贯，因此相贯线水平投影分为上（可见）、下（不可见）不同的两部分。

【任务实施】相贯线的绘制过程

作图步骤：

（1）求作a、b、c、d、e、f、g、h上的点的位置，如图2-26（a）所示；

（2）求作i、j、k、l上的点的位置，如图2-26（b）所示；

（3）求作m、n上的点的位置，如图2-26（c）所示；

（4）判断可见性，连线，去线，补线，如图2-26（d）所示。

图2-26

【自我评估】

求复合回转体的截交线