逻辑变量和基本逻辑运算

1）逻辑变量和逻辑函数

开关的通和断、灯泡的亮和暗、信号的有和无、电平的高和低、晶体管的导通和截止……这一类现象都存在着对立的两种可能性，为了描述这种相互对立的逻辑关系，在逻辑代数中用仅有两个取值（0和1）的变量来表示，这种二值变量就称为逻辑变量。逻辑变量可以分为两类：逻辑自变量（简称逻辑变量）和逻辑因变量（即逻辑函数）。

如果逻辑自变量A，B，C，…的取值确定以后，逻辑因变量Z的值也被唯一地确定了，则称Z是A，B，C，…的逻辑函数，记作：Z=F（A，B，C，…）。

不管是逻辑变量还是逻辑函数，都只有两个可能的取值，用“0”和“1”表示。这里，“0”和“1”不表示数量的大小，只表示完全对立的两种逻辑状态，例如，我们定义逻辑变量A代表灯是否亮，若用A=1表示灯亮；则A=0表示灯灭。通常，“1”表示条件具备或结果发生；“0”表示条件不具备或结果不发生。

2）基本逻辑关系（逻辑运算）及其表示方法

逻辑关系是指逻辑变量的因果关系，最基本的逻辑关系有“与（AND）”、“或（OR）”、“非（NOT）”三种，相应的也有三种最基本的逻辑运算：与运算、或运算和非运算。逻辑关系可以用图形符号、逻辑表达式和真值表来表示。

（1）与逻辑关系（与运算）

当决定一件事情的各个条件全部具备时，这件事才会发生，这样的因果关系叫做与逻辑关系，简称与逻辑。如图2.1（a）所示电路中，只有当开关A与B全部闭合时，灯Z才会亮，所以说灯Z与A、B是与逻辑关系，图2.1（b）是我国新国标（下同）所规定的与逻辑的图形符号。

逻辑关系也可用列表的形式表示。列出逻辑自变量取值的所有状态组合及逻辑因变量的对应值，称之为真值表。图2.1（a）所示与逻辑电路的真值表为表2.6。表中，“0”表示开关打开（条件不具备）、灯灭（结果不发生）；“1”表示开关闭合（条件具备）、灯亮（结果发生）。

图2.1　与逻辑

表2.6 与逻辑真值表

对应图2.1（a）电路的与运算的表达式为Z=A·B，读作Z等于A与B或Z等于A乘B，逻辑乘符号“·”可以省略，故上式也可写为Z=AB。与逻辑的运算规则与普通代数相似：

（2）或逻辑关系（或运算）

当决定一件事情的各个条件中，只要具备一个或者一个以上的条件，这件事情就会发生，这样的因果关系称之为或逻辑关系，简称或逻辑。图2.2（a）所示电路中，灯Z亮与开关A、B闭合是或逻辑关系，图2.2（b）是或逻辑的图形符号，表2.7是其真值表。或逻辑关系对应的逻辑运算为或运算，对于图2.2（a）电路中的逻辑变量Z、A、B，其逻辑运算表达式为Z=A+B，读作Z等于A或B，也可读作Z等于A加B。

图2.2　或逻辑

表2.7 或逻辑真值表(www.xing528.com)

或逻辑的运算规则为：

（3）非逻辑关系（非运算）

非就是反，非逻辑关系就是结果否定所给的逻辑条件，或者结果的产生是条件的逻辑反。图2.3（a）所示电路中，灯（Z）亮与开关（A）闭合是非逻辑关系，即开关A闭合，灯暗；开关A断开，灯亮。图2.3（b）是非逻辑的图形符号，表2.8是其真值表。

图2.3　非逻辑

表2.8　非逻辑真值表

非逻辑关系相对应的逻辑运算为非运算，对于图2.3（a）电路中的逻辑变量Z和A，其逻辑表达式为读作Z等于A反（非）。A上面的一横和图2.3（b）中的小圆圈，都是表示逻辑非的意思。非逻辑的运算规则为：

（4）其他五种基本逻辑关系

在上述三种最基本的逻辑关系的基础上，可以组合出其他五种逻辑关系：与非、或非、与或非、异或和同或，如图2.4所示为它们的图形符号，其逻辑运算表达式为：

图2.4　常用的五种逻辑关系图形符号

异或逻辑关系的含义为：两个逻辑自变量状态相同时，输出为0；而状态不同时，输出为1。

异或逻辑的反为同或逻辑，即两变量状态相同时，输出为1；相异时，输出为0。表2.9是异或和同或逻辑的真值表。

表2.9　异或和同或逻辑真值表