如何识别与应对平面上的点和直线？

1.平面上的点

如果一个点在平面内的一条直线上，则此点必定在该平面上。如图2-20(a)所示，点M在平面P 的直线DE 上，点N 在直线BC 的延长线上，所以，点M 和点N 都在平面P 上。

2.平面上的直线

如果一条直线通过平面上的两个点，或通过平面上的一个点且与该平面上的另一条直线平行，则此直线必定在该平面上。如图2-20(b)所示，直线MN 通过平面R 上的D、E两点，所以，直线MN 在平面R 上，直线GF 过平面R 上的C 点，且与平面内直线AB 平行，所以，直线GF 在平面R 上。

图2-20　平面上的点和直线

典型案例

【案例1】　过点A 作V 面垂直面(α＝30°)，如图2-21所示。

图2-21　案例1图

【分析】　根据正垂面的投影特性:“两框一斜线”，即在H 面和W 面投影为两个与空间平面类似形的封闭“线框”，且两个框都不反映空间平面的实形，在V 面投影积聚为“斜线”，“斜线”与OX 轴的夹角反映α 角，即30°。

【作图】　作图方法及步骤如图2-22所示。

图2-22　过点A 作V 面垂直面

(a)过点a′作与OX 轴成30°夹角的斜线，即正垂面的V 面投影，在斜线上取点b′和点c′;(b)自点b′和点c′下引OX 轴的垂线，在H 面取与点a 不共线的两点，分别为点b和点c;(c)连接abc，即正垂面的H 面投影

【案例2】　已知点K 在平面ABC 上，并已知其中一个投影(图2-23)，求作点K的另一投影。

【分析】　根据平面上的点的投影特性，如果点在平面上，那么该点必定在该平面的一条直线上，本题中点K 在平面ABC 上，那么可以用点K 所在的直线作为辅助线，先作出辅助线的另一面投影，再在其上找到点的投影。

【作图】　作图方法及步骤如图2-24所示。

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图2-23　案例2图

图2-24　求作点K 的另一投影

(a)过a′k′作辅助线交b′c′于点d′，自点d′向下引OX 轴的垂线交bc 于点d;(b)连接ad;(c)自点k′向下引OX 轴的垂线交ad 于点k，即所求点K 的另一投影

【案例3】　已知平面ABC 的两面投影(图2-25)，在平面内作一条水平线AD，求AD的投影。

图2-25　案例3图

【分析】　根据平面上直线的投影特性，要在平面内作一条直线，那么这条直线上要有两个点在平面上。结合水平线的投影特性，V 面投影应该为一条与OX 轴平行的直线，H面投影应该为一条斜线。

【作图】　作图方法及步骤如图2-26所示。

图2-26　在已知平面内作水平线

(a)过点a′作与OX 轴平行的直线与b′c′相交于点d′，过点d′向下引垂线与bc 交于点d;(b)连接ad，则ad 和a′d′即所求水平线的投影

实际演练

1.根据平面图形的两面投影， 求作第三面投影， 判断与投影面的相对位置并填空。

2.在平面ABC 上作一正平线。

3.已知位于所给平面上的图形的一个投影， 试求其另一个投影。