逐点比较法：优化直线插补技术

1.直线插补计算原理

（1）偏差函数与偏差判别

按逐点比较法基本原理，每运行一步，必须把动点的实际位置与给定轨迹的理想位置间的误差以“偏差”的形式计算出来，然后根据偏差的正、负决定下一步的走向，以逼近给定轨迹。因此，偏差的计算是关键。以第一象限平面直线为例来推导偏差计算公式。

如图1-14 所示直线OA，其起点O 为坐标原点，终点坐标A（xe，ye）为已知。直线OA 即为给定轨迹，m（xm，ym）点为加工点（动点）。若m 点正好处在直线OA 上，则有下式成立

即

假定动点处于OA 的上方，则直线Om’的斜率大于OA 的斜率，从而有

即

由以上分析可以看出，（images/P18_2212781.jpg）的符号反映了动点m 与直线OA 间的偏离情况。为此。可取偏差函数为

据此总结出动点m 与给定直线OA 间的相对位置关系如下。

若Fm=0，则动点正好处在直线OA 上，如m；

若Fm ＞0，则动点处在直线OA 上方，如m'；

若Fm ＜0，则动点处在直线OA 下方，如m''。

（2）坐标进给

如图1-14所示可以看出第一象限直线插补。当Fm＜0时，应向+X 方向进给一步；当Fm ＜0 时应向+Y 方向进给一步，以逼近给定直线；当Fm=0 时，动点正好在直线上，理论上既可以向+X 方向走，也可以向+Y 方向走，一般约定向+X 方向走。于是可以得到第一象限直线的插补法，即当Fm ≥0 时向+X 进给一步，当+Y 时向+Y 进给一步，如此步步紧逼，直至终点。

（3）新偏差计算

插补过程中每走完一步都要算一次新的偏差，如果计算则要做两次乘法与一次减法运算。这不仅影响了插补的速度，而且在使用硬件或汇编语言软件实现插补时不太方便，因此必须设法简化运算。通常采用递推法，即每进一步后所到达点的偏差值通过前一点的偏差递推算出。

如图1-14 所示，如果经m 次插补后加工点处于m'点，其坐标为（xm，ym），因m'点在OA 上方，求得Fm，则下一次（m+1 次）插补应向方向进给一步。设坐标值的单位为脉冲当量，则m+1 次插补后的坐标值为

图1-14　第一象限直线

新偏差函数为

即

同样，如果经m 次插补后加工点处于点，因点在下方，求得，则下一次（m+1 次）插补应向方向进给一步。走步后的新坐标值为

新偏差函数为

即(www.xing528.com)

可以看出，采用递推算法后，偏差函数的计算只与终点坐标有关，而不涉及动点坐标，且不需要进行乘法运算。新动点的偏差函数可由上一动点的偏差函数递推出来（减或加），因此该算法相当简单，容易实现。由于起点已经预先走到，起点偏差已知为零，即递推开始时的偏差函数初始值为。

（4）终点判别

终点判别有如下三种方法。

① 设置∑x、∑y 两个减法计数器，插补前在∑x、∑y 计数器中分别存入终点坐标值xe、ye作为初始值，当X 或Y 方向每进给一步时，在相应的计数器中减去1，直到两个计数器中的数都减到0 时，插补停止，到达终点。

② 选终点坐标xe、ye 中较大的坐标作为计数坐标，如xe ＞ye，则用xe 作为计数器初始值，仅走步时，计数器才减1，计数器减到零时即认为到达终点。

③ 设置一个终点计数器∑，计数器中存入X和Y 两坐标的进给步数总和，即∑=xe+ye，无论或坐标进给，计数器均减1，当减到0 时即认为到达终点，停止插补。

通常采用上述三种方法中的第三种。

2.直线插补计算举例

设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标为xe=6、ye=4，坐标值单位为脉冲当量，试进行插补计算并画出走步轨迹图。

计算过程见表1-1，表中的终点判别采用上述第三种方法。走步轨迹如图1-15 所示。

图1-15　直线插补走步轨迹

表1-1　直线插补过程

3.四象限直线插补计算

以上所述仅为第一象限直线插补的计算处理方法。第一象限直线插补法经适当处理后可推广到其余象限的直线插补。当插补直线处于不同象限时，只要采用其坐标的绝对值计算，即用|X|代替X，用|Y|代替Y，其计算公式及处理过程与第一象限直线完全一样，仅是进给方向不同而已。由此，可得到偏差符号如图1-16 所示，当动点处在直线上时，偏差F=0；动点不在直线上且偏向轴一侧时，F>0；偏向轴一侧时，F<0。由图1-16 可见，当时F ≥0，应沿X 走步，第一、四象限走+X 方向，第二、三象限走-X 方向；当F<0 时，应沿沿Y 轴走步，第一、二象限走+Y方向，第三、四象限走-Y 方向。终点判别也应用终点坐标的绝对值作为计数器初值。

图1-16　四象限直线偏差符号和进给方向

例如，第二象限直线OA2。其终点坐标A2 为（-xe，ye），在第一象限有一条和它对称于Y轴的直线OA1，其终点坐标A1 为（xe，ye）。当从O 点出发，按第一象限直线OA1 进行插补时，若把沿轴正向进给改为沿X 轴负向进给，则实际插补出的就是第二象限直线OA2，而其偏差计算公式与第一象限直线相同。同理，插补第三象限终点A3 为（-xe，-ye）的直线OA3，它与第一象限终点为（xe，ye）的直线OA1 对称于原点，可依然按第一象限直线OA1 插补，只需在进给时将X、Y 由正向进给改为负向进给即可。

表1-2 列出了四象限直线插补的偏差计算公式与进给方向。表中分别表示第一、第二、第三、第四象限直线。

表1-2　直线插补计算公式及进给方向

4.直线插补计算的程序实现

程序设计首先要明确设计要求，根据程序的任务划分模块，设计算法及流程图，分配资源后进行程序编制。直线插补只是数控系统软件的一个模块，在设计流程图前，需要确定与其他模块间的关系。因为某一象限的直线在各轴的进给方向是确定的，并且在此直线的插补过程中保持不变。所以，插补程序不处理进给方向问题。进给方向由数据处理程序以标志的形式直接传递给进给驱动子程序。在开环系统中，进给驱动子程序的功能主要是根据插补结果和进给方向标志，驱动步进电机运动。在设计流程图前，做出如下规定：

（1）在内存中开出四个数据区XX、YY、JJ、FF，分别用于存放终点坐标xe、ye、∑总步数和偏差Fm。在8 位机中，算术运算是以单字节（8 位二进制数）为基础的；16 位机算术运算则以字（16 位二进制数）为基础；在数控系统中，通常需要三个以上的字节才能满足长度和精度的要求。所以，以上四个数据区每个的长度，8 位机可定为3 个字节，16 位机可定为2 个字。

（2）数据区初始化，包括FF 区清零，由数据处理模块完成。

这样，直线插补程序流程如图1-17 所示。

图1-17　逐点比较法直线插补流程图

设步进电机为三相六拍运行，STX、STY 分别为轴、轴步进电机环形分配指针，PORTX 和PORTY 分别为、轴的控制字输出口地址，标志字节FXGH 的第0 位和第1 位分别表示轴和轴的进给方向，1 为正向，0 为反向。轴进给驱动子程序流程图如图1-18 所示。

图1-18　轴进给驱动子程序流程图