弹性力学的三个基本方程

前面提到，弹性力学三维问题有六个分量，即三个正应力和三个切应力，各个应力向量在图6-18所示的体素中均完整表述出来。下面简单推导弹性力学的三个基本方程。

（1）力学平衡方程 在前微面上在三个方向的应力为

在右微面上沿x、y、z三个方向的应力为

图6-18 体素中的各个应力向量

在上微面上沿x、y、z三个方向的应力为

这里，切应力互等定理仍然成立，即

_zx=_xz，_yz=_zy，_xy=_yx

考虑微元体的力平衡条件，在x方向有∑F_x=0，则可得到

将上式化简后得到

同理，考虑微元体y方向和z方向的力平衡条件，可得到如下方程

式（6-35）、式（6-36）和式（6-37）就构成了弹性力学的力学平衡方程。

（2）几何方程 几何方程是表述弹性体内一点的应变与位移之间关系的方程式。下面来推导弹性体的几何方程。(www.xing528.com)

弹性体变形微元在xy平面上的投影如图6-19所示。微四边形单元初始形状为矩形PABC，初始位置位于图示坐标中。受外载荷后，形状和位置均发生变化，如P′A′B′C′所示。P、A、B三点的位移均在图中详细标注出来，PA、PB的角位移分别为α和β。

图6-19 弹性体变形微元在xy平面上的投影

由于正应变就是微元体在某方向的长度变化量与原长度之比，由此可以得到两个正应变的公式

结合图6-18，可以得到

将上述两式代入到定义公式中得到

切应变定义为x、y两个方向微元夹角的改变量，则上述微元体的切应变为

y_xy=α+β （6-40）

同样，结合图6-18，可以得到微元体切应变的详细推导公式

同理，将微元体向其他两个坐标平面投影可得到类似的关系式。这里不再详细推导。于是可以得到x、y和z方向的切应力和切应变，共六个。具体表达如下：

上述方程即为弹性力学的几何方程。

（3）物理方程 物理方程是描述应力与应变关系的方程。在材料力学中用胡克定律描述。而在弹性力学中，由于是三向应力状态，对各向同性的均匀体用广义胡克定律描述。鉴于材料力学中已有推导，这里就直接提出结论。物理方程中，E为弹性模量；μ为泊松比；G为切变模量。