熔断器组合开关的弹簧单元刚度矩阵求解方法

前面推导了单个弹簧单元的刚度矩阵，让我们知道了一个弹簧单元的刚度矩阵的求法，这里可将它推广到多个弹簧单元的组合系统。下面介绍两组弹簧系统的刚度矩阵。图6-5所示为两组串联弹簧系统，两弹簧通过节点2连接。u₁、u₂、u₃分别为节点1、2、3的位移，F₁、F₂、F₃分别为节点1、2、3的受力，弹簧1-2、2-3的刚度系数分别为和k_a和k_b。

表1-53 HR⁶₅系列熔断器式开关与熔体电流配用关系

图6-5 两组串联弹簧系统

为写成其刚度矩阵，对上述弹簧系统仍可采用分解与合成方法。将组合弹簧分解为图6-6所示的三种情形。其中，三种情形描述如下：

（a）u₂=u₃=0，只允许节点1有位移。

（b）u₁=u₃=0，只允许节点2有位移。

（c）u₁=u₂=0，只允许节点3有位移。

在情形（a）中，由于只有节点1有位移，因此力与位移间的关系为

F_1a=k_au₁ （6-10）

考虑弹簧1-2，由静力平衡条件有

F_2a=-F_1a=-k_au₁ （6-11）

由于u₂=u₃=0，没有力作用于节点3，因此可以得到

F_3a=0 （6-12）

注：用于电动机电路中，允许熔体电流值大于开关约定发热电流。

3.选用与维护

熔断器组合开关的选用与维护，按照开关与熔断器的特点确定。

图6-6 组合弹簧的分解与合成

在情形（b）中，只允许节点2有位移，此时每个弹簧在节点2要求有相同的位移，即弹簧1-2的伸长量等于弹簧2-3的伸长量。

分别对两弹簧求静力平衡，可以得到

F_1b=-k_au₂ （6-13）(www.xing528.com)

F_2b=（k_a+k_b）u₂ （6-14）

F_3b=-k_bu₂ （6-15）

在情形（c）中，只允许节点3有位移，节点1、2位移为0，和情形（a）一样，可以得到

F_2b=-F_3c=-k_bu₃ （6-16）

F_3c=k_au₃ （6-17）

由于节点1、2无位移，可以得到

F_1c=0 （6-18）

最后将分解的弹簧系统合成，对整个弹簧系统来说有三个节点，每个节点只有一个方向的位移。故受力应有如下形式

利用线弹性系统的叠加原理，叠加上述三种情况，可找出上式中3×3阶刚度矩阵各元素的表达式，下面为各个节点处的合力

F₁=F_1a+F₁b+_1c=k_au₁-k_au₂+0

F₂=F_2a+F₂b+_2c=-k_au₁+k_au₂-k_bu₂-k_bu₃

F₃=F_3a+F₃b+F_3c=0-k_au₂+k_bu₃

将这一组方程写成矩阵的形式，就得到要求的两弹簧组合系统的刚度矩阵，即

由式（6-20）可以看出，该矩阵既是对称矩阵，又是奇异矩阵。

上述从最基本的力学原理出发，推导出了两个弹簧系统的刚度矩阵。用同样的方法可以求解出具有更多个弹簧的串联系统。但当弹簧数目增加时，推导过程就比较冗余乏味。在知道了单个弹簧单元的刚度矩阵式后，是否可以利用它来直接叠加出多个弹簧串联系统的总刚度矩阵呢？答案是肯定的。

下面以两个串联的弹簧系统为例加以具体阐述和推导。由前面的推导结论知道，每个弹簧单元的受力方程和单元刚度矩阵可写成如下形式

由于系统有三个节点（位移），将上述方程分别扩大成三阶方程，则可以得到两个刚度矩阵形式

将上述两式叠加，得到矩阵形式