解决其他问题的方法介绍

1.二次规划问题

二次规划的数学模型

AX≤b

A_eqX=b_eq

lb≤X≤ub

式中，H为二次型矩阵；A、A_eq分别为不等式约束和等式约束系数矩阵。求解二次规划问题函数为quadprog。

1）语法：

x=quadprog（H，f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0，options）

[x，fval，exitflag，outputl，lambda]=quadprog（…）

2）说明：x0为初始点；若无等式约束或无不等式约束，就将相应的矩阵和向量设置为空；options为指定优化参数。输出参数中，x是返回最优解；fval是返回解所对应的目标函数值；exitflag是描述搜索是否收敛；output是返回包含优化信息的结构；lamdba是返回x包含拉格朗日乘子的参数。

例4-10 求解二次规划问题

minf（X）=x₁-3x₂+3x²₁+4x²₂-2x₁x₂

s.t.2x₁+x₂≤2

-x₁+4x₂≤3

MATLAB代码如下：

f=[1；-3]；

H=[6 -2；-2 8]；

A=[2 1；-1 4]；

b=[2；3]

[x，fval，exitflag]=quadprog（H，f，A，b）

结果：

x=

-0.0455

0.3636 .

fval=

-0.5682.

exitflag=

1

2.多目标规划问题

对于多目标规划，其数学模型为

min（f₁（X） f₂（X） … f_m（X））

s.t.g_j（X）≤0 （j=1，2，…，n）

先设计与目标函数相应的一组目标值理想化向量（f₁^∗f₂∗ … f_m^∗），再设γ为一松弛因子标量，设W=（w₁w₂ … w_m）为权值系数向量，于是多目标规划问题化为

minγ

x，r

f_j（X-w_jγ≤f_j^∗ （j=1，2，…，m）

g_j（X）≤0 （j=1，2，…，k）

在MATLAB的优化工具箱中，fgoalattain函数用于解决此类问题。

其数学模型形式为

minγ

minf（X）-weight·γ≤goal

c（X）≤0

c_eq（X）=0

AX≤b

A_eqX=b_eq

lb≤X≤ub

式中，X、weight、goal、b、b_eq、lb和ub为向量；A和A_eq为矩阵；c（X）、c_eq（X）和f（X）为函数。

1）语法：

x=fgoalattain（F，x0，goal，weight，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon，options，P1，P2）

[x，fval，attainfactor，exitflag，output，lambda]=fgoalattain（…）

2）说明：F为目标函数；x0为初值；goal为F达到的指定目标；weight为参数指定权重；A、b为线性不等式约束的矩阵与向量；Aeq、beq为等式约束的矩阵与向量；lb、ub为变量x的上、下界向量；nonlcon为定义非线性不等式约束函数c（x）和等式约束函数ceq（x）；options中设置优化参数。

例4-11 求解如下问题

minf₁（X）=2x₁+5x₂

minf₂（X）=4x₁+x₂(www.xing528.com)

s.t.x₁≤5

x₂≤6

x₁+x₂≥7

x₁≥0，x₂≥0

首先编辑目标函数M文件myfun.m

function f=myfun（x）

f（1）=2∗x（1）+5∗x（2）；

f（2）=4∗x（1）+x（2）；

在Command Window输入命令：

goal=[20，12]；

weight=[20，12]；

x0=[2，2]

A=[10；01；-1-1]；

lb=zeros（2，1）；

[x，fval，attainfactor，exitflag]=fgoalattain（@myfun，x0，aoal，weight，A，b，[]，[]，lb，[]）

结果：

x=

2.9167 4.0833

fval=

26.2500 15.7500

attainfactor=

0.3125

exitflag=

4

3.最大最小化问题

最大最小化的数学模型为

求解最大最小化问题的函数为fminimax。

1）语法：

x=fminimax（F，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon，options）

[x，fval，maxfval，exitflag，output，lambda]=fminimax（…）

2）说明：F为目标函数；x0为初值；A、b为线性不等式约束的矩阵与向量；Aeq、beq为等式约束的矩阵与向量；lb、ub为变量x的上、下界向量；nonlcon为定义非线性不等式约束函数c（x）和等式约束函数ceq（x）；options中设置优化参数。

x返回最优解；fval返回解x处的目标函数值；maxfval返回解x处的最大函数值；exit-flag描述计算的退出条件；output返回包含优化信息的输出参数；lambda返回包含拉格朗日乘子的参数。

例4-12 求解下列最大最小值

min max（f₁（X） f₂（X） f₃（X） f₄（X））

其中f₁（X）=3x²₁+2x²₂-12x₁+35

f₂（X）=5x₁x₂-4x₂+7

f₃（X）=x²₁+6x₂

f₄（X）=4x²₁+9x²₂-12x₁x₂+20

首先编辑m文件myfun.m：

function f=myfun（x）

f（1）=3∗x（1）^2+2∗x（2）^2-12∗x（1）+35；

f（2）=5∗x（1）∗x（2）-4∗x（2）+7；

f（3）=x（1）^2+6∗x（2）；

f（4）=4∗x（1）^2+9∗x（2）^2-12∗x（1）∗x（2）+20；

取初值为x0=（1，1），调用优化函数，在Command Window输入命令：

x0=[11]；

[x，fval]=fminimax（@myfun，x0）

结果：

x=

1.7637 0.5317

fval=

23.7331 9.5621 6.3010 23.7331