多目标优化：理解与应用

在工程优化设计中，很多设计往往涉及要求多项设计指标最优化。例如，设计一台齿轮变速器，总是希望它的自重要轻、寿命要长、制造成本尽可能低。这种同时要求几项设计指标达到最优的问题，称为多目标优化设计问题。根据要求，将各项设计指标分别建立目标函数f₁^（X），f₂^（X），…，f_p^（X），这些目标函数称为分目标函数。知道了这些分目标函数之后，可将包含了p个分目标函数的多目标优化问题的数学模型写成如下形式

min（f₁（X） f₂（X） … f_p（X））^T，X∈Rⁿ

s.t. g_j（X）≤0（j=1，2，…，m）

h_k（X）=0（k=1，2，…，l）

多目标优化问题的求解与单目标优化问题的求解有根本区别。对于单目标优化问题，任意两个解都可以用其目标函数值比较方案优劣，但对于多目标优化问题，任何两个解不一定都可以评判出其优劣。设X^（0）和X^（1）为满足多目标优化问题约束条件的两个设计方案，判别这两个方案的优劣需分别计算其各自对应的分目标函数值，f₁（X（0）），f₂（X（0）），…，f_p（X^（0））和f₁（X（^1）），f₂（X^（1）），…，f_p（X^（1））进行对照，若(www.xing528.com)

f_t（X^（1））≤f_t（X^（0）） （t=1，2，…，p）

则方案X^（1）肯定比方案X^（0）好。然而绝大多数情况是f_t（X^（1））中一部分小于f_t（X^（0）），另一部分则相反。这样的情况下，X^（0）和X^（1）两个方案的优劣就比较难了。这就是多目标优化需要解决的问题。

在多目标优化设计中，如果—个解使每个分目标函数值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。显然多目标优化问题只有当找到的解是非劣解时才具有意义。实际上往往是一个分目标的极小化会引起另一个或一些分目标的变化，有时各分目标的优化还互相矛盾，甚至完全对立。因此，就需要协调各分目标函数f₁（X），f₂（X），…，f_p（X）的最优值，互相做出一些让步，以便取得对各分目标函数值来说都算是比较好的方案。