函数等值面（线）的特征与应用

在优化设计中，目标函数一般表示为n个设计变量的函数，即

f（X）=f（x₁，x₂，…，x_n）

当给定一组设计变量x₁，x₂，…，x_n值时，可以得到目标函数f（X）唯一的确定值。相反，当目标函数为某一定值时，如f（X）=a，则可以有无限多组设计变量x₁，x₂，…，x_n值与之相对应，这些设计变量在设计空间中组成一个点集，通常这个点集是一个曲面，称为目标函数的等值面（若为二维设计空间则称为等值线）。相应给定一系列函数值c₁，c₂，c₃，…时，便在设计空间内得到一组等值超曲面族。显然，在一个特定的等值面上，尽管设计方案很多，但每一个设计方案的目标函数值都是相等的。

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图2-1 目标函数等值线

现以二维优化问题为例，阐明目标函数等值面（线）的几何意义。如图2-1所示，二维目标函数f（X）=f（x₁，x₂）在以x₁、x₂、f（X）为坐标的三维坐标系空间内是一个曲面。每一个设计点X=（x₁、x₂）^T对应的目标函数值f（X）在图中反映为沿f（X）轴方向的高度。若将曲面上具有相同高度的点投影到设计平面x₁x₂上，则得到平面上的一条曲线，这个曲线称为目标函数的等值线。当给定一系列不同的a值时，可以得到一组平面曲线f（x₁，x₂）=a₁，f（x₁，x₂）=a₂，…，这组曲线构成目标函数的等值线族。由图2-1可知，等值线族反映了目标函数值的变化情况，等值线越向里，目标函数值越小。对于有中心的曲线族来说，等值线族的共同中心就是目标函数的无约束极小点X∗。故从几何意义上讲，求目标函数无约束极小点也就是求其等值线族的共同中心。

以上二维设计空间等值线的讨论，可推广到分析多维的问题。但需要注意三维问题在设计空间中是等值面，高于三维的问题在设计空间中则是等值超曲面。