数学模型优化设计方案

通过1.1节的几个简单例子可以看出，很多优化设计问题都可以建立一个统一形式的数学模型，通常称为数学建模。数学建模是优化设计中最关键的步骤之一。机电系统优化的数学模型包含了三个基本要素：设计变量、约束条件、目标函数。

1.设计变量

在设计过程中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示的。这些参数可以是表示构件形状、尺寸、大小等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力或力矩等的物理量。在这些参数中，有的是根据实际情况预先确定的，它在优化设计过程中是固定不变的量，这样的参数就是设计常量；有的则需要在设计过程中不断进行选择和调整，可认为是变化的量，这些参数就称作设计变量。

一个设计方案的全部n个设计变量x₁，x₂，…，x_n，可用一个列向量表示

X=（x₁x₂ … x_n）^T

称为设计变量向量。一旦规定了这样一种向量的组成，则其中任意一个特定的向量都可以称作一个“设计”。以n个设计变量为坐标轴组成的实空间称为n维设计空间。这样，具有n个分量的一个设计向量对应着n维设计空间的一个设计点，该点代表具有n个设计变量的一个设计方案。例如，例1-1就是以x₁、x₂、x₃这三个设计变量组成的三维设计空间。具体的一组设计向量（x₁x₂x₃）^T就代表该三维设计空间的一个设计点。

2.约束条件

优化设计不仅要使所选择方案的设计指标达到最优值，同时还必须满足某些设计的限制条件，因为不满足这些设计限制条件的设计方案常常是工程上所不能接受的，这些限制条件就称为约束条件。根据约束的性质不同，可以将设计约束分为边界约束和性能约束两类。边界约束是直接限定设计变量取值范围的约束条件，例如对齿轮的模数、齿数的上、下限的限制就是边界约束；而性能约束是根据设计性能要求而提出的约束条件，例如零件的强度条件、刚度条件、稳定性条件等均属于性能约束。

约束的表现形式有两种：一种是不等式约束，即

g_u（X）≤0或g_u（X）≥0 u=1，2，…，m

另一种是等式约束，即

h_v（X）=0 v=1，2，…，p＜n

式中，g_u（X）和h_v（X）分别为设计变量的函数，统称为约束函数；m和p分别表示不等式约束和等式约束的个数，而且等式约束的个数p必须小于设计变量的个数n。因为一个等式约束可以消去一个设计变量，当p=n时，即可由p个方程组解得唯一的一组设计变量x₁，x₂，…，x_n，这样就无优化可言。

满足所有约束条件的设计点的集合称为可行域，可行域内的设计点称为可行设计点，否则称为非可行设计点。当设计点处于某一不等式约束边界上时，称为边界设计点。边界设计点属于可行设计点，它是一个为该项约束所允许的极限设计方案。

3.目标函数

目标函数又称作评价函数，是用来评价设计方案优劣的标准。任何一项机械设计方案的好坏，总可以用一些设计指标来衡量，这些设计指标可表示为设计变量的函数，该函数就称为优化设计的目标函数，目标函数可以是结构质量、体积、功耗、成本或其他性能指标（如变形、应力等）。n维设计变量优化问题的目标函数可以表示为(www.xing528.com)

f（X）=f（x₁，x₂，…，x_n）

在某些设计问题中，可能存在两个或两个以上需要优化的指标，这就是多目标函数的问题。例如设计一台机器，期望得到最低的造价和最少的维修费用。

目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反应目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面方法。目标函数等值面的数学表达式为

f（X）=c（c为常数）

在二维情况下，该点集为等值曲线，三维时为等值面，大于三维的称为超曲面。具体的性质及其对于优化问题的意义将在第2章中介绍。

4.优化设计的数学模型

在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。

求设计变量向量X=（x₁x₂ … x_n）^T，使得

f（X）→min

且满足约束条件

g_u（X）≤0（u=1，2，…，m）

h_v（X）=0（v=1，2，…，p）

利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足g_u（X）≤0（u=1，2，…，m）和h_v（X）=0（v=1，2，…，p）的设计点集合为R，即R为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求X，使

在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化f（X）→min或目标函数极大化f（X）→max。由于求f（X）极大化与求-f（X）的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。