最优控制问题的求解方法

对于由上式所定义的最优控制问题，主要有两种代表性求解方法：第一种基于哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation，HJB方程）；第二种则是基于变分法的轨迹优化方法，其以庞特里亚金最小值原理（Pontryagin Minimum Principle，PMP）为代表。

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解HJB方程的有力的数值解法，其可用于求解以最小燃油消耗为代表的一族最优控制问题。而PMP则主要考虑单独的轨迹的最优化。DP方法可以通过找到最优控制域的全部可能最优轨迹来获得全局最优解；而PMP只能给出最优轨迹在每一瞬时需要满足的必要条件，无法保证全局最优性。由于PMP给出的最优轨迹不一定是全局最优解，因此一般基于PMP给出的最优轨迹进行控制的效果不如DP。另一方面，与PMP只需求解非线性二阶微分方程不同，DP实际是HJB方程的一种数值近似，需要求解偏微分方程。由于DP求解所有可行的最优控制律，其计算量远远大于PMP；其另一个主要缺点则是其计算量随优化变量的增多而呈指数性增加，而PMP的计算量与优化变量数量之间呈线性关系。(www.xing528.com)

基于PMP的控制可给出一个最优轨迹，虽然该最优轨迹只是一个局部最优解（次优解），而非全局最优解，但其可大大减小求解全局最优解所需的计算量，具有在线应用潜力。