节点坐标计算方法

当零件的形状由直线和圆弧之外的其他曲线，如抛物线、渐开线和椭圆曲线等构成，而数控机床又不具备该曲线的插补功能时，数值计算就比较复杂。数控加工中把除直线与圆弧之外可以用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。可用直角坐标的形式表示非圆曲线的数学表达式，也可用极坐标形式或者参数方程的形式表示非圆曲线的数学表达式。用极坐标形式或者参数方程的形式表示非圆曲线的数学表达式时，可通过坐标变换，将非圆曲线的数学表达式转换为直角坐标表达式。非圆曲线类零件包括平面凸轮类零件、圆柱凸轮以及数控车床上加工的各种以非圆曲线为母线的回转体零件等。一般按数控系统插补功能的要求，在满足允许的编程误差的条件下，用若干小直线段或小圆弧首尾相连，来拟合组成零件轮廓的非圆曲线。这些若干小直线段或小圆弧称为拟合线段，拟合线段与非圆曲线的交点或切点称为节点。

此时数值计算就是计算各节点的坐标值。目前常用的节点坐标计算方法有等间距法、等步长法、等误差法等。

1.等间距法

等间距法就是将某一坐标轴划分为相等的间距，如图2-10所示，从起始点开始，每增加一个Δx，通过方程y=f（x）求出y值，就可以得到相应节点的坐标，直到终点，得到一系列的坐标值。此种方法的重点在于Δx的选取应确保拟合误差在允许的范围以内。

图2-10　等间距法

2.等步长法

用等步长法以直线拟合轮廓曲线时，每段拟合线的长度都相等，如图2-11所示。由于拟合线段长度相等，所以每段拟合线的拟合误差不相等，最大误差必定在曲率半径最小处。采用等步长法时，首先求出最小曲率半径Rmin，然后根据最小曲率半径Rmin确定允许步长l，最后按允许步长l计算各节点的坐标值。

图2-11　等步长法

3.等误差法(www.xing528.com)

等误差是指任意相邻两节点间的拟合误差都相等，如图2-12所示。采用等误差法时，由于各拟合线段的拟合误差δ均相等，所以程序段数目最少，但计算过程比较复杂，必须由计算机辅助才能完成计算。在采用直线段拟合非圆曲线的拟合方法中，等误差法是一种较好的拟合方法。

图2-12　等误差法

4.列表曲线型值点坐标的计算

除了可以用直线、圆弧或非圆曲线组成之外，有些零件的轮廓形状可以通过实验或测量的方法得到。零件的轮廓数据在图样上是以坐标点的表格形式给出的，这种由列表点（又称型值点）给出的轮廓曲线称为列表曲线。

在列表曲线的数学处理方面，常用的拟合方法有牛顿插值法、三次样条曲线拟合法、圆弧样条拟合法和双圆弧样条拟合法等。由于以上各种拟合方法在使用时往往存在着某种局限性，目前处理列表曲线时通常采用二次拟合法。

为了在给定的列表点之间得到一条光滑的曲线，对列表曲线拟合一般提出以下要求。

（1）方程式表示的零件轮廓必须通过列表点。

（2）方程式给出的零件轮廓的凹凸性与列表点表示的轮廓的凹凸性应一致，即不应在列表点的凹凸性之外再增加新的拐点。

（3）光滑性：为使数学描述不过于复杂，通常一个列表曲线要用许多参数不同的同样的方程式来描述，希望在方程式的两两相连接处有连续的一阶导数或二阶导数，若不能保证一阶导数连续，则希望连接处两边一阶导数的差值应尽量小。