固液相变传热问题的数学模型优化

根据尺度的不同，对输运过程（主要包括传热传质过程）的描述和模拟计算主要有3种方法［11］：

（1）微观尺度的分子动力学模型，追踪每一个分子的运动状态，并通过系综平均获得宏观物理量。由于需要辨析分子尺度空间和捕捉分子碰撞时间内的运动，其计算量往往非常巨大，通常只能对小空间短时间内的过程进行模拟计算。

（2）介观尺度的格子玻尔兹曼方程，它并不需要知道每一个分子的状态，而只需了解一个分子集群的统计学行为；通过模拟介观尺度分子集群之间的迁移和碰撞过程来反映宏观尺度的扩散过程，包括质量扩散、动量扩散和能量扩散等；格子玻尔兹曼方法（LBM）是沟通微观与宏观尺度之间的桥梁［15］。

（3）宏观尺度的连续性方程，也就是我们熟知的纳维-斯托克斯（Navier-Stokes，N-S）流动方程、质量和能量守恒方程等，它是基于连续介质假设并以微元体为分析对象而建立的控制方程，是目前宏观尺度问题分析和模拟计算的主要方法。

目前，后两种方法是研究宏观尺度固液相变传热问题的主要方法［11］。在连续介质假设下，固液相变传热问题的数值计算模型可以分为两大类：基于温度的控制方程模型和基于总焓的控制方程模型。焓法将固液两相方程完美统一，可以用固定网格求解固液相变问题，并自动捕捉固液界面。该方法自提出以来，便广受认可和使用，目前已成为计算固液相变问题的主流方法。如下对这一模型的控制方程做一简要介绍。这里，忽略固液相的体积变化，并采用Boussinesq假设来考虑自然对流的影响。连续性方程：

动量方程：

动量方程：

能量方程：

能量方程：

其中，在动量方程中，Aui为动量耗散源项，用来抑制糊状区（固液共存区）和固相的速度，参照达西定律，A定义为如下形式［11］：

其中，在动量方程中，Aui为动量耗散源项，用来抑制糊状区（固液共存区）和固相的速度，参照达西定律，A定义为如下形式［11］：

fl为局部液相体积分数，用来表示局部多孔度σ；C为一个较大的数（比如105）以产生足够大的动量抑制效果；ε是一个很小的量（比如0.001）以防止式中分母为0；-ρβgi（T-Tref）为Boussinesq假设下的浮升力源项，其中Tref为设定的一个参考温度。

在能量方程（6-5）中，H表示总焓，它包含显热焓Hs和潜热焓Hl两部分，即(www.xing528.com)

fl为局部液相体积分数，用来表示局部多孔度σ；C为一个较大的数（比如105）以产生足够大的动量抑制效果；ε是一个很小的量（比如0.001）以防止式中分母为0；-ρβgi（T-Tref）为Boussinesq假设下的浮升力源项，其中Tref为设定的一个参考温度。

在能量方程（6-5）中，H表示总焓，它包含显热焓Hs和潜热焓Hl两部分，即

显热焓Hs和潜热焓Hl可以用下式计算：

显热焓Hs和潜热焓Hl可以用下式计算：

其中，Href是参考温度Tref对应的参考焓值。利用式（6-7）、（6-8）、（6-9），即可在每一步计算中获得总焓的情况下推算得到相应的温度分布。fl可以表示为温度的线性函数，即：

其中，Href是参考温度Tref对应的参考焓值。利用式（6-7）、（6-8）、（6-9），即可在每一步计算中获得总焓的情况下推算得到相应的温度分布。fl可以表示为温度的线性函数，即：

其中，Ts和Tl分别为相变材料熔化开始和结束时的温度。

可以看到，在液相区域，fl=1，方程（6-4）中的动量耗散源项Aui的大小为0，此时方程就是常见的液相区域动量方程。在糊状区域，特别是接近固相区域，fl趋近于0，此时Aui将会是一个较大的值，相比而言，方程（6-4）中的各个速度偏微分项以及浮力源项都可以忽略，方程退化为：

其中，Ts和Tl分别为相变材料熔化开始和结束时的温度。

可以看到，在液相区域，fl=1，方程（6-4）中的动量耗散源项Aui的大小为0，此时方程就是常见的液相区域动量方程。在糊状区域，特别是接近固相区域，fl趋近于0，此时Aui将会是一个较大的值，相比而言，方程（6-4）中的各个速度偏微分项以及浮力源项都可以忽略，方程退化为：

式（6-11）即为多孔介质流中达西定律的一种表达形式，这也就是为何这种方法也被称为“多孔度法”的原因。

式（6-11）即为多孔介质流中达西定律的一种表达形式，这也就是为何这种方法也被称为“多孔度法”的原因。