优化设计：单级圆柱齿轮减速器

图12-2是单级圆柱齿轮减速器的结构简图。已知齿数比为u，输入功率为P，主动轮功率P，主动轮转速为n₁，求在满足零件的强度和刚度的情况下，使减速器体积最小的各项设计参数。

图12-2 单级圆柱齿轮减速器的结构简图

由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，因此可按照它们体积之和最小的原则来建立目标函数。根据齿轮几何尺寸及齿轮结构尺寸的计算公式，壳体内的齿轮和轴的体积可近似表示为

式中各符号意义由图12-2直接给出，其计算公式为

由上式可知，当齿数比给定后，体积V取决于b、z₁、m、l、d_z1和d_z26个参数、则设计变量可取为

目标函数为

f（X）=V→min

约束函数如下：

1）齿数z₁应大于不发生根切的最小齿数z_min，得

g₁（X）=z_min-z₁≤0

2）齿宽应满足，φ_min和φ_max应为齿宽系数φ_d的最小值和最大值，一般取φ_min=0.9，φ_max=1.4，得

3）动力传动的齿轮模数应大于2mm，得

g₄（X）=2-m≤0

4）为了限制大齿轮的直径不致过大，小齿轮的直径不能大于d_1max，得

g₅（X）=z₁m-d_1max≤0

5）齿轮轴直径的取值范围：d_zmin≤d_z≤d_zmax，得(www.xing528.com)

6）轴的支撑距离l按结构关系，应满足条件：l≥b+2Δ_min+0.5d_z2（可取Δ_min=20），得：

g₁₀（X）=b+0.5d_z2+40-l≤0

7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得接触应力σ_H和弯曲应力σ_F的计算公式分别为

8）齿轮轴的最大挠度δ_max不大于许用值[δ]，得

g₁₄（X）=δ_max-[δ]≤0

9）齿轮轴的弯曲应力σ_W不大于许用值[σ]_W，得

g₁₅（X）=σ_W1-[σ]_W≤0

g₁₆（X）=σ_W2-[σ]_W≤0

该问题为具有6个设计变量、16个约束条件的优化设计问题，可采用惩罚函数法或其他方法求解，如下面例题。

例12-1 对一单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。已知输入功率P=58kW，输入转速n₁=1000r/min，齿数比u=5，齿数的许用接触应力[σ]_H=550MPa，许用弯曲应力[σ]_F=400MPa。

解：将已知量代入上式，单级减速器优化设计的数学模型可表示为

式中 y₁₁、y₂₂——主动轮和从动轮的齿形系数；y₂₁、y₂₂——主动齿轮和从动齿轮的应力校正系数。

该问题用惩罚函数法计算，初始方案为X⁰=[230 21 8 420 120 160]^T，f（X⁰）=6.32×10⁷，经过10次迭代计算，取得最优解

若将最优设计方案按设计规范圆整，可得最优解为