外点法在等式约束优化问题中的应用

外点法与将惩罚函数定义域可行域内的内点法不同，既可用来求解不等式约束问题，又可用来求解等式约束优化问题。其探索点（或初始点）是从可行域外逼近原目标函数的约束最优解。

对于目标函数f（X）受约束于g_u（X）≤0 （u=1，2，…，m）的最优化设计问题，利用外点法求解时，其一般表达式为

式中，右边第二项为惩罚项；γ^（K）为外点法的惩罚因子，它虽然也是一个正实数，但却是个递增数列，这一点与内点法不同，即

式中，右边第二项为惩罚项；γ^（K）为外点法的惩罚因子，它虽然也是一个正实数，但却是个递增数列，这一点与内点法不同，即

由上述可知，当探索点X^（k）在可行域内时，惩罚项为0；若不在则不为零，且会受到很大的惩罚。故要使目标函数极小，必须迫使惩罚项等于零，即使g_u（X^（k））≤0。这就保证在可行域内Φ（X，γ^（K））与f（X）是等价的，即

由上述可知，当探索点X^（k）在可行域内时，惩罚项为0；若不在则不为零，且会受到很大的惩罚。故要使目标函数极小，必须迫使惩罚项等于零，即使g_u（X^（k））≤0。这就保证在可行域内Φ（X，γ^（K））与f（X）是等价的，即

当约束条件为g_u（X）≥0（u=1，2，…，m）时，惩罚函数表达式为

当约束条件为g_u（X）≥0（u=1，2，…，m）时，惩罚函数表达式为

一般u=2。

同样有(www.xing528.com)

一般u=2。

同样有

外点法是通过一系列的递增惩罚因子{γ^（K）（K=0，1，2，…）}来求惩罚函数Φ（X^*，γ^（K））一系列的无约束极值，并使之逐渐逼近原目标函数F（X）的约束最优解的一种方法，这一系列的无约束极值点X^*（γ^（K））是从可行域外向约束边界逼近的。并且随着惩罚因子的增加，由求解一个惩罚函数Φ（X^*，γ^（K））的极小值转入到求解的另一个惩罚函数Φ（X^*，γ^（K+1））的极小值过程中。

由于上述外点法的探索特点，使之很适用于等式约束的最优化问题。因此在这种情况下凡是不满足等式约束条件h_v（X）=0（v=1，2，…，p）的探索点均为外点，随着探索条件的进行在求惩罚函数

外点法是通过一系列的递增惩罚因子{γ^（K）（K=0，1，2，…）}来求惩罚函数Φ（X^*，γ^（K））一系列的无约束极值，并使之逐渐逼近原目标函数F（X）的约束最优解的一种方法，这一系列的无约束极值点X^*（γ^（K））是从可行域外向约束边界逼近的。并且随着惩罚因子的增加，由求解一个惩罚函数Φ（X^*，γ^（K））的极小值转入到求解的另一个惩罚函数Φ（X^*，γ^（K+1））的极小值过程中。

由于上述外点法的探索特点，使之很适用于等式约束的最优化问题。因此在这种情况下凡是不满足等式约束条件h_v（X）=0（v=1，2，…，p）的探索点均为外点，随着探索条件的进行在求惩罚函数

极小值的过程中，必然要求惩罚项压缩为零，从而使惩罚函数的无约束极值点等于原目标函数f（X）的约束最优点X^*。

极小值的过程中，必然要求惩罚项压缩为零，从而使惩罚函数的无约束极值点等于原目标函数f（X）的约束最优点X^*。