优化约束问题的惩罚函数法详解

通常约束问题间接求优法有消元法、拉格朗日乘子法和惩罚函数法。其中以惩罚函数法最为常用，本节主要介绍此法。

惩罚函数法是优化问题间接解法的代表方法，其基本思想是用某种方法将约束优化问题转为无约束优化问题，然后用无约束优化方法来求优。

约束问题间接求优有两个前提条件：

1）这种转化不能破坏原问题的约束条件。

2）必须是把求优归结到无约束问题的同一最优解上去。

惩罚可以用以下经济问题来进行通俗的解释：

原目标函数看成“价格”，而约束条件是一种“规定”，违反“规定”，即X∉D时要受罚款，不违反“规定”时，罚款为零。付出的总代价是价格与罚款的总和，于是“采买”时，要以总代价最小作为最终目标加以考虑。要想少罚款就不要违反规定。

根据这种解释，我们将这种优化问题的数学模型定义为如下形式：

原目标函数看成“价格”，而约束条件是一种“规定”，违反“规定”，即X∉D时要受罚款，不违反“规定”时，罚款为零。付出的总代价是价格与罚款的总和，于是“采买”时，要以总代价最小作为最终目标加以考虑。要想少罚款就不要违反规定。

根据这种解释，我们将这种优化问题的数学模型定义为如下形式：

其中Φ（X，γ^（K））是一个人为构造的参数型目标函数，叫做惩罚函数。其一般形式为

其中Φ（X，γ^（K））是一个人为构造的参数型目标函数，叫做惩罚函数。其一般形式为

式中，G[g_u（X）]是针对原数学模型的一组约束条件，以某种方式构成的关于g_u（X）的惩罚函数。G[g_u（X）]在全域内定义为非负。

γ^（K）为第K个等式约束的待定乘子，是在优化过程中随K的增大不断进行调整的变值参数，根据不同情况，它可以为一个递降或递增的数列。(www.xing528.com)

式中，G[g_u（X）]是针对原数学模型的一组约束条件，以某种方式构成的关于g_u（X）的惩罚函数。G[g_u（X）]在全域内定义为非负。

γ^（K）为第K个等式约束的待定乘子，是在优化过程中随K的增大不断进行调整的变值参数，根据不同情况，它可以为一个递降或递增的数列。

称为惩罚项，由上面定义可以判断，惩罚项的值恒为非负。由此可见，惩罚函数Φ（X，γ^（K））的值在一般情况下总是大于原目标函数的值。这就是所谓惩罚项对新目标函数的“惩罚作用”。

但是，为了新目标函数最后总能收敛到原目标函数的同一最优解上去，惩罚项必须具有以下性质：

称为惩罚项，由上面定义可以判断，惩罚项的值恒为非负。由此可见，惩罚函数Φ（X，γ^（K））的值在一般情况下总是大于原目标函数的值。这就是所谓惩罚项对新目标函数的“惩罚作用”。

但是，为了新目标函数最后总能收敛到原目标函数的同一最优解上去，惩罚项必须具有以下性质：

即选择了惩罚函数G[g_u（X）]之后，随着惩罚因子数值的不断调整，惩罚项对整个惩罚函数Φ（X，γ^（K））的惩罚作用将在取极限的过程中消失，即有下面的从属极限关系：

即选择了惩罚函数G[g_u（X）]之后，随着惩罚因子数值的不断调整，惩罚项对整个惩罚函数Φ（X，γ^（K））的惩罚作用将在取极限的过程中消失，即有下面的从属极限关系：

如此便可以保证惩罚函数收敛到原函数的同一最优解上去。惩罚函数G[g_u（X）]因具体方法不同而异。

惩罚函数的具体方法有内点法、外点法和混合法（参数型惩罚函数法）。

如此便可以保证惩罚函数收敛到原函数的同一最优解上去。惩罚函数G[g_u（X）]因具体方法不同而异。

惩罚函数的具体方法有内点法、外点法和混合法（参数型惩罚函数法）。