构建初始复合形的方法和步骤

对初始复合形k个顶点的要求是：每个顶点在可行域内，且k个顶点至少有n+1个顶点矢量是线性独立的顶点可以人为制定，亦可以随机产生全部顶点：

式中 r_i^（j）——（0，1）区间内均匀分布的随机数；

a_i、b_i——设计变量的各个分量的上下界值。

由于选择点并不一定总在可行域内，需要将其调入可行域，具体调入步骤如下：

1）设在k个顶点中有q个已在可行域内，求出它们的几何中心X^（t）：

式中 r_i^（j）——（0，1）区间内均匀分布的随机数；

a_i、b_i——设计变量的各个分量的上下界值。

由于选择点并不一定总在可行域内，需要将其调入可行域，具体调入步骤如下：

1）设在k个顶点中有q个已在可行域内，求出它们的几何中心X^（t）：

2）将不满足的点X^（q+1）向中心点X^（t）靠拢，即

2）将不满足的点X^（q+1）向中心点X^（t）靠拢，即

3）新的X^（q+1）在可行域内，则不再重复以上计算，否则直至成为可行点为止。

4）采用相同的方法，可将X^（q+2）、X^（q+3）、…、X^（k）陆续调入可行域，直到k个顶点全部成为可行点，从而构成初始复合形。

5）若可行域为凸集，其中心点必为可行点。

3.复合形法的优缺点

由迭代步骤可知，采用复合形法不必计算目标函数梯度及二阶导数矩阵，也不用一维最优化搜索，因而过程简单，适应性强，易于掌握。

但是随着设计变量的增多，其计算效率降低，收敛速度减慢，因而还需使用压缩、扩张向最好点收缩、旋转变形等，以达到更好的精度。

例11-3 用复合形法求解下列约束优化问题：

3）新的X^（q+1）在可行域内，则不再重复以上计算，否则直至成为可行点为止。

4）采用相同的方法，可将X^（q+2）、X^（q+3）、…、X^（k）陆续调入可行域，直到k个顶点全部成为可行点，从而构成初始复合形。

5）若可行域为凸集，其中心点必为可行点。

3.复合形法的优缺点

由迭代步骤可知，采用复合形法不必计算目标函数梯度及二阶导数矩阵，也不用一维最优化搜索，因而过程简单，适应性强，易于掌握。

但是随着设计变量的增多，其计算效率降低，收敛速度减慢，因而还需使用压缩、扩张向最好点收缩、旋转变形等，以达到更好的精度。

例11-3 用复合形法求解下列约束优化问题：

1）顶点数与伪随机数：

顶点数：k=2n，n=2，k=4

随机选取初始复合形顶点数：

1）顶点数与伪随机数：

顶点数：k=2n，n=2，k=4

随机选取初始复合形顶点数：

伪随机数：

伪随机数：

2）构成初始复合形：

2）构成初始复合形：

3）判断各顶点的可行性：

3）判断各顶点的可行性：

经检验，全部顶点均在可行域内。(www.xing528.com)

4）计算各点函数值，确定好点、坏点：

经检验，全部顶点均在可行域内。

4）计算各点函数值，确定好点、坏点：

5）求反射点X^（R）。先求出除X^（H）点外其余各点之形心X^（S）：

5）求反射点X^（R）。先求出除X^（H）点外其余各点之形心X^（S）：

检验X^（S）点可行性：

g₁（X^（S））＞0，g₂（X^（S））＞0

满足可行性条件，X^（S）点在可行域内。

取反射系数α=1.3。

反射点：

检验X^（S）点可行性：

g₁（X^（S））＞0，g₂（X^（S））＞0

满足可行性条件，X^（S）点在可行域内。

取反射系数α=1.3。

反射点：

检验X^（R）点的可行性：

g₁（X^（R））＞0，g₂（X^（R））＞0

满足可行性条件，X^（R）在可行域内。求出反射点X^（R）的函数值：f（X^（R））=21.359。

6）比较f（X^（R））和f（X^（H）），由于f（X^（R））＜f（X^（H）），用X^（R）代替X^（H）点，构成新的复合形。

7）新复合形：

检验X^（R）点的可行性：

g₁（X^（R））＞0，g₂（X^（R））＞0

满足可行性条件，X^（R）在可行域内。求出反射点X^（R）的函数值：f（X^（R））=21.359。

6）比较f（X^（R））和f（X^（H）），由于f（X^（R））＜f（X^（H）），用X^（R）代替X^（H）点，构成新的复合形。

7）新复合形：

上述四点均已满足可行性，下面比较函数值：

上述四点均已满足可行性，下面比较函数值：

求形心点：

求形心点：

经检验，g₁（X^（0））＞0，g₂（X^（0））＞0，X^（0）为可行点。反射，求出X^（R）：

X^（R）=X^（0）+α（X^（0）-X^（H））=[2.776，0.754]^T

经检验，g₁（X^（R））＞0，g₂（X^（R））＞0。

计算X^（R）点的函数值，f（X^（R））=21.01，f（X^（R））＜f（X^（H）），用X^（R）代替X^（H），重新构成复合形，并按上述步骤继续迭代，直至满足：

经检验，g₁（X^（0））＞0，g₂（X^（0））＞0，X^（0）为可行点。反射，求出X^（R）：

X^（R）=X^（0）+α（X^（0）-X^（H））=[2.776，0.754]^T

经检验，g₁（X^（R））＞0，g₂（X^（R））＞0。

计算X^（R）点的函数值，f（X^（R））=21.01，f（X^（R））＜f（X^（H）），用X^（R）代替X^（H），重新构成复合形，并按上述步骤继续迭代，直至满足：