目标函数在设计中的重要性

在7.1节所举的几个设计问题中，如桁架的体积、销轴的质量、总利润等都是设计中所追求的目标，而且它是设计变量的函数，称为目标函数。当给定一组设计变量值时就可计算出相应的目标函数值。因此，在优化设计中，就是用目标函数值的大小来衡量设计方案的优劣。故目标函数有时也称为评价函数，目标函数的一般表示式为

f（X）=f（x₁，x₂，…，x_n）

优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标函数值达最佳值，即使f（X）→Opt。由于我们是用目标函数值的大小来衡量设计方案优劣的，故所谓最佳值就是指最大值或极大值。由于求目标函数f（X）的极大化等价于求目标函数-f（X）的极小化，因此，为了算法和程序的统一，通常最优化就是极小化，即f（X）→min。

在工程设计问题中，设计所追求的目标可以是各式各样的，当目标函数只包含一项设计指标极小化时，称它为单目标设计问题，有时也可能要求多项设计指标达到极小化，这就是所谓多目标设计问题。单目标优化设计问题，由于指标单一，易于衡量设计方案的优劣，求解过程比较简单明确。而多目标问题则比较复杂，因为如果具有两个以上的目标函数，假设它们并不是依赖完全不同的设计变量，又不存在各自独立的约束条件，那么，要求这两个目标函数同时达到极小值有时显得比较困难。目前处理这种多目标设计问题的常用方法是将它们组成一个复合的目标函数，例如，采用线性加权和的形式，即

式中，f₁（X），f₂（X），…，f_q（X）分别代表q个设计指标；W₁，W₂，…，W_q为各项指标的加权系数（或叫加权因子），是个非负的数，它的作用是标志该项指标的重要程度，以及平衡各项指标在量纲和量级上的差别。

由于目标函数是设计变量的函数，故给定一组设计变量值就相应的有一个函数值，并在设计空间相对应的有一个设计点，因此也可以说设计空间的任何一点都有一个函数值与之相对应。具有相同函数值的点集在设计空间内形成一个曲面或曲线，我们称它为目标函数的等值面或等值线。在具有n个设计变量的n元目标函数中，相同目标函数值的点集在n维设计空间是个等值超曲面，对于两个设计变量的二元目标函数则是一条等值钱（平面曲线或直线）。(www.xing528.com)

在优化设计中正确建立目标函数是很重要的一步工作。它不仅直接影响优化设计的质量，而且对整个优化计算的繁简难易也会有一定的影响。

式中，f₁（X），f₂（X），…，f_q（X）分别代表q个设计指标；W₁，W₂，…，W_q为各项指标的加权系数（或叫加权因子），是个非负的数，它的作用是标志该项指标的重要程度，以及平衡各项指标在量纲和量级上的差别。

由于目标函数是设计变量的函数，故给定一组设计变量值就相应的有一个函数值，并在设计空间相对应的有一个设计点，因此也可以说设计空间的任何一点都有一个函数值与之相对应。具有相同函数值的点集在设计空间内形成一个曲面或曲线，我们称它为目标函数的等值面或等值线。在具有n个设计变量的n元目标函数中，相同目标函数值的点集在n维设计空间是个等值超曲面，对于两个设计变量的二元目标函数则是一条等值钱（平面曲线或直线）。

在优化设计中正确建立目标函数是很重要的一步工作。它不仅直接影响优化设计的质量，而且对整个优化计算的繁简难易也会有一定的影响。