如何优化设计变量？

在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数（或叫预定参数）。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自变量。如例7-3中销轴的直径d和长度l即为设计变量，而载荷F、密度ρ和材料的许用应力等则为给定参数。

一个优化问题如果有n个设计变量，而每个设计变量用x_i（i=1，2，…，n）表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行阵的转置，即写成

我们把X定义为n维欧式空间的一个向量，设计变量x₁，x₂，…，x_n为向量X的n个分量。在优化设计中把这个n维的欧氏实空间称为设计空间，用Rⁿ表示，它是以设计变量x₁，x₂，…，x_n为坐标轴的n维空间。设计空间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案就对应着设计空间的一个设计向量或者说一个设计点X。例如，n=2，即只有两个设计变量，其设计空间就是由x₁和x₂为坐标轴所构成的平面，如图7-5a所示。由原点O出发向x^（k）点作一个向量，它即代表了设计空间的第k个设计方案。这个方案可以由给定的x₁^（k）和x₂^（k）值来确定，因此，第k个设计方案可以表示成

一个设计方案也可以看成设计空间的一个点与之相对应，这一点即为向量的端点，可以表示为（x₁^（k），x₂^（k））。

图7-5 设计空间(www.xing528.com)

a）二维设计平面 b）三维设计空间

当n=3时，即由三个设计变量x₁，x₂，x₃组成一个三维设计空间，如图7-5b所示。其任一设计方案表示为

设计变量的数目越多，其设计空间的维数越高，能够组成的设计方案的数量也就越多，因而设计的自由度也就越大。从而也就增加问题的复杂程度。一般来说，优化设计过程的计算量是随设计变量数目的增多而增加的。因此，对于一个优化设计问题来说，应该恰当地确定设计变量的数目。并且原则上讲，应尽量减少设计变量的数目，即尽可能把那些对设计指标影响不大的参数取作给定参数，只保留那些比较活跃的对设计指标影响显著的参数作为设计变量，这样可以使优化设计的数学模型得到简化。

在机械设计中有些参数只能选用规定的离散值，如齿轮的模数、钢材的规格尺寸等，以这样的参数作为设计变量的叫做离散型设计变量。因此，在不加特殊说明的情况下，都将设计变量x₁，x₂，…，x_n视为连续变量，并且是个有界的变量，即

a_i≤x_i≤b_i （i=1，2，…，n）

式中，a_i，b_i分别表示设计变量x_i的下界值和上界值。