如何证明周期/概周期轨道存在性

文献中的大多数文章都通过不动点理论来证明周期解与概周期解的存在性，例如Mawhin拓扑度原理（[4]）.证明相对较烦琐.我们提出的一个构造性的方法证明了时滞神经网络系统周期解和概周期解的存在性.考虑如下时滞周期系统：

其中，f（x，xt，t）满足：对任何x，yt和t≥0，f（x，yt，t+ω）=f（x，yt，t）.类似定理4.19可以证明：如果周期时滞微分系统具有指数全局输出同步（4.1节），则其具有全局指数稳定的周期解.

命题9.1 考虑周期时滞常微分系统（9.5），其中f（x，xt，t）对x和xt是Lipschitz连续的，关于变量（x，xt，t）是连续的且满足线性增长条件（假设4.2）.如果其解轨道是全局指数稳定的，即存在α＞0和连续泛函M（φt，ψt）＞0，M（φt，φt）=0，使得对任何两解轨道x（t）和y（t）分别对应初始条件φ（θ）和ψ（θ），

成立，则系统存在唯一全局指数稳定的周期解.

其证明类似定理4.3和文献[5]的证明.构造函数序列x（t+nω）.可验证它是L1[0，ω]空间中的一个Cauchy序列，收敛到某个可测函数x*（t），则存在子序列x（t+nkω），几乎处处收敛到x*（t）.显然，x*（t）是一个周期轨道，也是系统（9.5）的解.

此方法可推广到时滞Filippov系统的周期轨道的证明，参看定理5.7.

通过类似的方法可以给出时滞概周期系统的概周期解存在性和稳定性的构造性证明.(www.xing528.com)

命题9.2 考虑上述概周期时滞常微分系统（9.5），其中f（x，yt，t）关于x，yt是Lipschitz连续的，关于（x，yt，t）连续且满足线性增长条件.如果（9.5）的解轨道有界并且是渐近概周期的，即对任意ε＞0，存在T＞0和l＞0，在任何l-区间[a，a+l（ε）]都存在一个ω，使得

成立，则系统存在概周期解.

对于任意自然数k，选取tk，使得

由Arzela-Ascoli引理和对角线选择原理，可找到一个子序列（仍记为tk）使得x（t+tk）在[0，+∞）的任何有界闭区间上一致收敛到一个函数x*（t）.由（9.6）知

对充分大k成立，可得‖x*（t+ω）-x*（t）‖≤ε.即x*（t）是概周期的.进一步，可以证明x*（t）是系统（9.5）的解，且当t→∞时，

上述结果也适用于时滞周期/概周期Filippov系统.参看第5.3节.